Dérivation: Dérivée d'une somme et d'un produit
Dérivée d'une somme
Lors de la dérivée de fonctions puissances, nous avons vu que nous pouvons mettre en évidence un facteur constant. En général, nous pouvons le faire pour dériver des fonctions de la forme #\orange{c}\cdot \blue{f}#.
Dérivée d'un facteur constant
Pour une constante #\orange{c}# et une fonction #\blue {f}#, nous avons:
\[ \dfrac{\dd}{\dd x}\left(\orange{c}\cdot \blue{f(x)}\right)=\orange{c}\cdot \dfrac{\dd}{\dd x}\blue{f(x)}\]
Exemple
\[\begin{array}{rcl}
\dfrac{\dd}{\dd x}\left(\green{\orange{3}\blue{x^3}} \right)&=&\orange{3}\cdot \dfrac{\dd}{\dd x}\blue{x^3} \\ &=& \orange{3}\cdot 3x^2 \\ &=& 9x^2\end{array}\]
Nous pouvons également considérer la somme de deux fonctions.
La dérivée d'une somme de deux fonctions #\blue{f(x)}# et #\green{g(x)}# est:
\[\dfrac{\dd}{\dd x}(\blue{f(x)}+\green{g(x)}) =\dfrac{\dd}{\dd x}\blue{f(x)}+\dfrac{\dd}{\dd x}\green{g(x)}\]
Exemple
\[\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd}{\dd x}(\blue{x}+\green{x^2})&=&\dfrac{\dd}{\dd x}\blue{x}+\dfrac{\dd}{\dd x}\green{x^2}\\&=&1+2x\end{array}\]
#\begin{array}{rcl}
\displaystyle f'(x)&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd x}\left(\sqrt{6}\cdot x^8+6\cdot \sqrt{x}\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{définition de la dérivée}}\\
&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd x}\left(\sqrt{6}\cdot x^8\right)+\frac{\dd}{\dd x}\left(6\cdot \sqrt{x}\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{dérivée d'une somme }\frac{\dd}{\dd x}\left(f(x)+g(x)\right)=\frac{\dd}{\dd x}f(x)+\frac{\dd}{\dd x}g(x)}\\
&=&\displaystyle \sqrt{6}\cdot\dfrac{\dd}{\dd x}\left(x^{8}\right)+6\cdot\dfrac{\dd}{\dd x}\left(x^{{{{1}\over{2}}}}\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{dérivée d'un facteur constant }\frac{\dd}{\dd x}\left(c\cdot f(x)\right)=c\cdot\frac{\dd}{\dd x}f(x)\text{ et }\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}\\
&=&\displaystyle \sqrt{6}\cdot\left(8\cdot x^{{7}}\right)+6\cdot\left({{1}\over{2}}\cdot x^{{-{{1}\over{2}}}}\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{dérivée d'une puissance }\frac{\dd}{\dd x}\left(x^n\right)=n\cdot x^{n-1}}\\
&=&\displaystyle\sqrt{6}\cdot\left(8\cdot x^7\right)+6\cdot\left({{1}\over{2\cdot \sqrt{x}}}\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{réécriture des termes en }x}\\
&=&\displaystyle 8\cdot \sqrt{6}\cdot x^7+{{3}\over{\sqrt{x}}}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{simplification}}\\
\end{array}#
Ou visitez omptest.org si jou prenez un examen de OMPT.
