Dans le chapitre des fonctions trigonométriques, nous avons vu que #\tan(x)# est défini comme #\frac{\sin(x)}{\cos(x)}#. Maintenant que nous connaissons les dérivées de #\sin(x)# et #\cos(x)#, nous pouvons déterminer la dérivée de #\tan(x)# en utilisant la dérivée d'un quotient, que nous verrons plus tard.

Une autre preuve consiste à utiliser la dérivée d'un produit et la règle de la chaîne. Nous écrivons \[f(x)=\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}=\sin(x)\cdot \dfrac{1}{\cos(x)}\] la dérivée d'un produit donne \[f'(x)=\cos(x)\cdot \dfrac{1}{\cos(x)} + \sin(x)\cdot \left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'=1+\sin(x)\cdot \left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'\] Nous pouvons calculer la dérivée #\left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'# en écrivant #\dfrac{1}{\cos(x)}# comme la composée de #\dfrac{1}{x}# et de #\cos(x)#. L'application de la règle de la chaîne donne \[\left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'= -\dfrac{1}{\cos(x)^2}\cdot (-\sin(x))=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)^2}\] Finalement, nous obtenons: \[f'(x)=1 + \sin(x)\cdot \left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'=1+\sin(x)\cdot \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)^2}=1+\dfrac{\sin(x)^2}{\cos(x)^2}=1+\tan(x)^2\]