Dérivée de fonctions puissances

Dérivation: Dérivée de fonctions puissances

Dérivée de fonctions puissances

Dans la pratique, nous ne voulons pas calculer chaque fois les dérivées en utilisant la définition de la dérivée, mais nous utilisons des règles de calcul pour calculer directement la dérivée. Nous étudions d'abord la dérivée d'une fonction puissance.

Dérivée d'une puissance

\[\dfrac{\dd}{\dd x}(x^\blue{n})=\blue{n}\cdot x^{\blue{n}-1}\]

Exemple

\[\begin{array}{rcl} \dfrac{\dd}{\dd x}(x^\blue{5})&=&\blue{5}\cdot x^{\blue{5}-1}\\&=&\blue{5}x^4\end{array}\]

Dérivée de la racine carrée
\[\dfrac{\dd}{\dd x}\sqrt{x}=\dfrac{\dd}{\dd x}x^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}
\]

Preuve

En utilisant la définition de la dérivée, nous obtenons pour une fonction puissance #f(x)=x^n# :

\[f'(x)=\dfrac{(x+h)^n-x^n}{h}\]

Nous développons les parenthèses:

\[\dfrac{x^n+ n\cdot x^{n-1}\cdot h + \ldots n\cdot x\cdot h^{n-1}+h^n-x^n}{h}\]

Le terme en #x^n# disparaît:

\[\dfrac{n\cdot x^{n-1}\cdot h + \frac{n(n-1)}{2}\cdot x^{n-2}h^2 + \ldots + n\cdot x\cdot h^{n-1}+h^n}{h}\]

Nous pouvons écrire ceci sans fraction:

\[n\cdot x^{n-1}+ \frac{n(n-1)}{2}\cdot x^{n-2}\cdot h + \ldots + n\cdot x\cdot h^{n-2}+h^{n-1}\]

En laissant tendre #h# vers zéro, un seul terme reste: le terme sans #h#. Ainsi, la dérivée de #f# est:

\[f'(x)=n\cdot x^{n-1}\]

Si nous sommes en présence d'une fonction puissance précédée d'une constante, alors nous pouvons facilement mettre en évidence cette constante.

Dérivée d'une puissance précédée d'une constante

\[\dfrac{\dd}{\dd x}(\orange{c}\cdot x^\blue{n})=\orange{c}\cdot\blue{n} \cdot x^{\blue{n}-1}\]

Exemple

\[\begin{array}{rcl} \dfrac{\dd}{\dd x}(\orange{2}\cdot x^\blue{-3})&=&\orange{2}\cdot\blue{-3}\cdot x^{\blue{-3}-1}\\&=&-6x^{-4}\end{array}\]

Dérivée d'une constante

La dérivée d'une constante #\orange{c}# est égale à #0#. Nous pouvons le montrer à l'aide de #1=x^0# et #\orange{c}=\orange{c}\cdot 1#.

\[\frac{\dd}{\dd x}\orange{c}=\frac{\dd}{\dd x}(\orange{c}\cdot 1)=\frac{\dd}{\dd x}(\orange{c}\cdot x^0)=\orange{c}\cdot 0 \cdot x^{-1} = 0\]

Calculez #\frac{\dd y}{\dd x}# pour \(y = {{7}\over{x^5}} \). Simplifiez votre réponse autant que possible et sans utilier d'exposants négatifs.

#\frac{\dd f}{\dd x}=# #-{{35}\over{x^6}}#

\[\begin{array}{rcl}
\displaystyle \dfrac{\dd f}{\dd x}&=& \displaystyle \dfrac{\dd}{\dd x}\left( {{7}\over{x^5}} \right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{substitution de } f}\\

& =&\displaystyle\dfrac{\dd}{\dd x}\left( 7\cdot x^{-5} \right )\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{écriture sous la forme }c\cdot x^n}\\
& =& \displaystyle 7 \cdot -5 \cdot x^{-6}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{dérivée d'une puissance }\dfrac{\dd}{\dd x}\left (c \cdot x^n\right)=c \cdot n \cdot x^{n-1}}\\
& =&\displaystyle -{{35}\over{x^6}}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{simplification}}
\end{array}\]

Nouveau exemple