Notion de dérivée

Dérivation: Dérivée

Notion de dérivée

La dérivée est une fonction qui indique pour chaque point #x# ce que la pente est en ce point. En d'autres termes, une fonction qui associe la pente de la tangente en un point #x#.

Pente

La pente d'une fonction #\blue{f}# en un point #a# est obtenue en calculant le taux de variation sur #[a,a+\orange{h}]# et en approchant #\orange{h}# de zéro. Nous écrivons cela comme suit:

\[\orange{h}\to0\]

Si nous ne déterminons pas le taux de variation en un point, mais pour une variable #x#, alors nous obtenons la dérivée de #\blue{f}#. On note la dérivée #\green{f'}#.

Dans l'exemple ci-contre, nous avons indiqué que #\orange{h} \to 0#. Cependant, cela devrait être indiqué à chaque étape, mais nous l'avons omis pour des raisons de commodité.

Exemple

\[\begin{array}{rcl}
\blue{f(x)}&=&\blue{x^2} \\
\green{f'(x)}&=&\dfrac{\blue{(}x+\orange{h}\blue{)^2}-\blue{x^2}}{\orange{h}}\\&=&\dfrac{\blue{x^2}+2x\cdot \orange{h}+\orange{h}^2-\blue{x^2}}{\orange{h}}\\&=&\dfrac{2x\cdot \orange{h}+\orange{h}^2}{\orange{h}}\\&=&2x+\orange{h} \quad \text{avec} \quad \orange{h} \to 0\\&=& \green{2x} \end{array}\]

Nous appelons #f'# la dérivée de #f#.

Dérivée

La dérivée d'une fonction #\blue{f}# est désignée par #f'# :

\[f'(x)=\dfrac{\blue{f(}x+\orange{h}\blue{)}-\blue{f(}x\blue{)}}{\orange{h}} \quad \text{avec} \quad \orange{h}\to 0\]

Le calcul de la dérivée d'une fonction #f# est appelé dérivation de #f# .

Toutes les fonctions ne peuvent être dérivées. Une fonction dont nous pouvons déterminer la dérivée est appelée fonction dérivable. Dans ce cours, nous considérons que des fonctions qui sont dériviables.

En écrivant #\frac{\dd}{\dd x}f# ou #\frac{\dd f}{\dd x}#, nous entendons #f'#; ces trois notations désignent la même chose.

plaatje

Nous considérons principalement la dérivation d'une fonction de la forme #f(x)=...#. Nous pouvons également dériver des fonctions avec une autre variable comme #g(t)# ou #h(y)#. Nous obtenons

\[\begin{array}{rcl}f'(x)&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd x}\left(f(x)\right)\\
g'(t)&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd t}\left(g(t)\right)\\
h'(y)&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd y}\left(h(y)\right)\end{array}\]

En mots Nous pouvons calculer la dérivée en calculant d'abord le taux de variation sur un intervalle de longueur #\orange{h}#, et ensuite en laissant tendre #\orange{h}# vers zéro. La valeur que nous obtiendrons est la pente du graphe en #x#. En d'autres termes, la pente de la tangente au point #x#.

Un exemple d'une fonction non dérivable est la fonction valeur absolue #\blue{f(x)}=\blue{\abs{x}}#. Ceci est la fonction qui a pour valeur #x# si #x# est supérieur ou égal à #0#, et a pour valeur #-x# si #x# est inférieur à #0#.

Cette fonction n'est pas dérivable au point #0#, puisque nous ne pouvons pas trouver une définition univoque de la tangente. Ci-contre nous avons tracé le graphe de la fonction #\blue{f(x)}=\blue{\abs{x}}# et deux tangentes possibles.

plaatje

Nombre dérivé La dérivée en un point #a# est donnée par #f'(a)#. Elle est aussi appelée nombre dérivé en #a#, ou tout simplement la dérivée en #a#. C'est la pente de la fonction au point #a#

Calculez la dérivée de #f(x)=5x^3+9x#.

#15x^2+9#

Pour #h \to 0#, nous obtenons:
\[\begin{array}{rcl} f'(x)&=&\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ && \blue{\text{définition de la dérivée}}\\ &=& \dfrac{5(x+h)^3 + 9(x+h) - (5x^3+9x)}{h}\\ &&\blue{\text{substitution}}\\ &=& \dfrac{5x^3 + 15x^2\cdot h + 15x\cdot h^2 + 5h^3 + 9x + 9h -5x^3-9x}{h} \\ && \blue{\text{développement des parenthèses}}\\&=& \dfrac{15x^2\cdot h + 15x\cdot h^2 + 5h^3 +9h }{h} \\&&\blue{5x^3 \text{ et } -5x^3, 9x \text{ et } -9x \text{ s'annulent}}\\ &=& 15x^2 + 15x\cdot h + 5h^2 +9 \\ &&\blue{\text{simplification par }h} \\&=& 15x^2 + 9
\\ && \blue{h \text{ tend vers }0}\end{array}\]

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