Dérivation: Dérivée de fonctions composées
Fonctions composées
Si nous avons une fonction #g(x)#, alors nous n'avons pas nécessairement besoin de substituer une variable ou un nombre pour #x#, nous pouvons également substituer une expression ou une fonction #h(x)#.
Fonctions composées
En substituant la fonction #\green{h(x)}# pour #x# dans la fonction #\blue{g(x)}#, nous obtenons une nouvelle fonction \[f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\] Nous appelons celle-ci une fonction composée de #\blue{g}# et de #\green{h}#.
Exemple
#\blue{g(x)}=\blue{\sqrt{x}}# et #\green{h(x)}=\green{x+3}# donnent:
\[f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}=\blue{\sqrt{\green{x+3}}}\]
Il est important de reconnaître ces fonctions composées et de savoir les décomposer.
\[\begin{array}{llll}f(x)=&\sqrt{x+2}&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{donne}\quad\blue{g(x)}=\blue{\sqrt{x}}\quad\text{et}\quad\green{h(x)}=\green{x+2}\\\\f(x)=&\sin(x^2)&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{donne}\quad\blue{g(x)}=\blue{\sin(x)}\quad\text{et}\quad\green{h(x)}=\green{x^2}\\\\f(x)=&(x^3-4x)^6&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{donne}\quad\blue{g(x)}=\blue{x^6}\quad\text{et}\quad\green{h(x)}=\green{x^3-4x}\end{array}\]
Savoir reconnaître des fonctions composées nécessite beaucoup de pratique.
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