Isolation de variables

Fonctions exponentielles et logarithmes: Fonctions logarithmiques

Isolation de variables

En utilisant ce que nous avons appris lors de la réécriture de logarithmes, nous pouvons réécrire des fonctions exponentielles comme une fonction de la forme #x=\ldots#. Nous appelons cela l'isolation de la variable #x#.

Nous pouvons réécrire la fonction #y=5\cdot 4^{x-1}# comme une équation de la forme #x=\blue{a}+\log_{\green{b}}\left(\purple{c}\cdot y\right)#.

\[\begin{array}{rcl}5\cdot 4^{x-1}&=&y\\&& \blue{\text{équation donnée}}\\4^{x-1}&=&\frac{y}{5}\\&&\blue{\text{division par }5}\\x-1&=&\log_4\left(\frac{y}{5}\right)\\&&\blue{a^b=c\text{ donne }b=\log_a\left(c\right)}\\x&=&\log_4\left(\frac{y}{5}\right)+1\\&&\blue{\text{addition de }1}\end{array}\]

Réciproque

Isoler la variable #x# à partir d'une fonction revient à déterminer la réciproque d'une fonction #f(x)#. Ainsi, nous utiliserons l'expression "donnez la fonction réciproque #f^{-1}(x)#" dans les exercices comme cela a la même signification que "isolez #x# dans la fonction #f(x)#". Dans l'exemple ci-dessus, nous utilisons l'#y#-notation au lieu de la notation #f(x)#. La fonction réciproque serait alors \[f^{-1}(x)=\log_4\left(\dfrac{x}{5}\right)+1\]

Nous pouvons également isoler #x# de fonctions plus difficiles comme vous pouvez le voir dans les exemples suivants.

Isolez #x# dans l'équation suivante.

\[y=12+6^{2\cdot x+3}\]

#x=# #\frac{\log_{6}\left(y-12\right)-3}{2}#

\(\begin{array}{rcl}
y&=&12+6^{2\cdot x+3}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{équation donnée}}\\
6^{2\cdot x+3}&=&y-12\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{échange des membres et termes constants mis dans le membre de droite}}\\
2\cdot x+3&=&\log_{6}\left(y-12\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{a^b=c \text{ donne } b=\log_a\left(c\right)}\\
2\cdot x&=&\log_{6}\left(y-12\right)-3\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{termes constants mis dans le membre de droite}}\\
x&=&\dfrac{\log_{6}\left(y-12\right)-3}{2}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{division par }2}
\end{array}\)

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