Symétrie dans le cercle trigonométrique

Trigonométrie: Sinus, cosinus et tangente d'angles

Symétrie dans le cercle trigonométrique

Nous avons vu que les valeurs de sinus et de cosinus se répètent pour chaque multiple de #2 \pi#. Maintenant, nous allons étudier la symétrie dans le cercle trigonométrique.

Symétrie

Nous pouvons trouver trois types de symétrie dans le cercle trigonométrique, à savoir la symétrie par rapport à l'axe des #x#, l'axe des #y# et la droite #y=x#. Nous pouvons en déduire les règles suivantes pour sinus et cosinus.

Symétrie par rapport à	Sinus	Cosinus
l'axe des #x#	#\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)#	#\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)#
l'axe des #y#	#\sin(\pi-\alpha) = \sin(\alpha)#	#\cos(\pi-\alpha) = -\cos(\alpha)#
la droite #y=x#	#\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos(\alpha)#	#\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \sin(\alpha)#

Grâce à ces règles, nous avons seulement besoin de connaître les valeurs de sinus et de cosinus au premier quadrant, à savoir les valeurs de sinus et de cosinus pour #0 \leq \alpha \leq \tfrac{\pi}{4}#. Dans la pratique, nous prenons le quadrant entier et étudions les valeurs pour #0 \leq \alpha \leq \tfrac{\pi}{2}#.

Exemples

Symétrie par rapport à	Sinus	Cosinus	GeoGebra
l'axe des #x#	# \begin{array}{rcl}\sin(\frac{5 \pi}{3})&=&\sin(-\frac{\pi}{3})\\ &=&-\sin(\frac{\pi}{3})\end {array} #	# \begin{array}{rcl}\cos(\frac{5 \pi}{3})&=&\cos(-\frac{\pi}{3})\\&=&\cos(\frac{\pi}{3})\end {array} #
l'axe des #y#	# \begin{array}{rcl}\sin(\frac{2 \pi}{3})&=&\sin(\pi-\frac{\pi}{3})\\&=&\sin(\frac{\pi}{3})\end {array} #	# \begin{array}{rcl}\cos(\frac{2 \pi}{3})&=&\cos(\pi-\frac{\pi}{3})\\&=&-\cos(\frac{\pi}{3})\end {array} #
la droite #y=x#	# \begin{array}{rcl}\sin(\frac{1}{6}\pi)&=&\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})\\&=&\cos(\frac{\pi}{3})\end {array} #	# \begin{array}{rcl}\cos(\frac{1}{6}\pi)&=&\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})\\&=&\sin(\frac{\pi}{3})\end {array} #

Degrés Les mêmes règles s'appliquent pour les angles #\alpha# en degrés.

Symétrie par rapport à	Sinus	Cosinus
l'axe des #x#	#\sin(360^\circ-\alpha) = -\sin(\alpha)#	#\cos(360^\circ-\alpha) = \cos(\alpha)#
l'axe des #y#	#\sin(180^\circ-\alpha) = \sin(\alpha)#	#\cos(180^\circ-\alpha) = -\cos(\alpha)#
la droite #y=x#	#\sin(90^\circ-\alpha) = \cos(\alpha)#	#\cos(90^\circ-\alpha) = \sin(\alpha)#

Si vous connaissez les valeurs du cosinus et du sinus des angles remarquables entre #0# et #\frac{\pi}{2}#, vous pouvez calculer les valeurs des angles remarquables entre #\frac{\pi}{2}# et #2\pi# en utilisant la symétrie du cercle trigonométrie.

#\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}# étant donné. Que vaut #\sin\left(\frac{5 \pi}{4}\right)#?

#\sin\left(\frac{5 \pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}#

Les angles donnés sont liés les uns aux autres par la symétrie par rapport à l'axe des #x# et #y#. Donc \[\sin\left(\frac{5 \pi}{4}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\]

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