Fonctions trigonométriques réciproques

Trigonométrie: Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques réciproques

Nous avons vu que le sinus, le cosinus et la tangente sont des fonctions périodiques. Ainsi, si nous voulons résoudre l'équation #\sin(x)=\tfrac{1}{2}#, nous trouverons une infinité de solutions. Nous allons maintenant limiter le domaine des fonctions afin que nous puissions définir des fonctions réciproques. Ces fonctions réciproques peuvent nous aider à résoudre des équations.

Fonction réciproque de sinus, cosinus et tangente

Nous définissons les fonctions réciproques de sinus, de cosinus et de tangente comme suit:

\[\begin{array}{rcl} \blue x=\arcsin(\green y) &\Leftrightarrow& \green y=\sin(\blue x) \;\text{ et }\; -\frac{\pi}{2} \leq \blue x \leq \frac{\pi}{2} \\ \\ \blue x=\arccos(\green y) &\Leftrightarrow& \green y=\cos(\blue x) \;\text{ et }\; 0 \leq \blue x \leq \pi \\ \\ \blue x=\arctan(\green y) &\Leftrightarrow& \green y=\tan(\blue x) \;\text{ et }\; -\frac{\pi}{2} \lt \blue x \lt \frac{\pi}{2}\end{array}\]

Exemple

#\arcsin\left(\green{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) = \blue{\frac{\pi}{4}}#

car

#\sin\left(\blue{\frac{\pi}{4}}\right)=\green{\frac{\sqrt{2}}{2}}# et #-\frac{\pi}{2} \leq \blue{\frac{\pi}{4}} \leq \frac{\pi}{2}#

Calculatrice

Sur votre calculatrice, les touches #\arcsin#, #\arccos# et #\arctan# sont souvent dénommées #\sin^{-1}#, #\cos^{-1}# et #\tan^{-1}#. Cette notation n'est pas utilisée dans ce cours pour éviter toute confusion avec #\frac{1}{\sin(x)}=\csc(x)# (cosécante), #\frac{1}{\cos(x)}=\sec(x)# (sécante) et #\frac{1}{\tan(x)}#.

Propriétés de arcsin, arccos et arctan

La fonction #f(x)=\arcsin(x)# a pour

domaine de définition: #\ivcc{-1}{1}#
ensemble image: #\ivcc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}#

Le graphe est le symétrique de #f(x)=\sin(x)# sur le domaine #\ivcc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}# par rapport à la droite #y=x#.

plaatje

La fonction #f(x)=\arccos(x)# a pour

domaine de définition: #\ivcc{-1}{1}#
ensemble image: #\ivcc{0}{\pi}#

Le graphe est le symétrique de #f(x)=\cos(x)# sur le domaine #\ivcc{0}{\pi}# par rapport à la droite #y=x#.

plaatje

La fonction #f(x)=\arctan(x)# a pour

domaine de définition: toutes les valeurs de #x#
ensemble image: #\ivoo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}#

Les asymptotes horizontales sont #y=-\frac{\pi}{2}# et #y=\frac{\pi}{2}# et le graphe est le symétrique de #f(x)=\tan(x)# sur le domaine #\ivoo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}# par rapport à la droite #y=x#.

plaatje

Lien arcsin et arccos

En regardant attentivement les graphes de #f(x)=\arcsin(x)# et #f(x)=\arccos(x)#, nous voyons que:

\[\arccos(x) = \dfrac{\pi}{2}-\arcsin(x) \text{ pour } -1\le x\le 1\]

En effet , #f(x)=\sin(x)# et #f(x)=\cos(x)# ont le même graphe déplacé de #\frac{\pi}{2}#.

Donnez la réponse exacte en radians.

#\arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=# \(\dfrac{\pi}{4}\)

Comme #\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}# et #-\dfrac{\pi}{2}\leq\dfrac{\pi}{4}\leq\dfrac{\pi}{2}#.

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