Une relation très utile est la relation fondamentale de la trigonométrie:

\[\sin(\green{\alpha})^2+\cos(\green{\alpha})^2=1\]

Nous pouvons établir cette relation en appliquant le théorème de Pythagore. Dans le cercle trigonométrique, nous avons le triangle rectangle de côtés #\purple{y_p}=\sin(\green{\alpha})# et #\blue{x_p}=\cos(\green{\alpha})# et qui a pour hypoténuse le côté de longueur #1#. En appliquant théorème de Pythagore, nous obtenons

\[\purple{y_p}^2+\blue{x_p}^2=1\]

et ainsi
\[\sin(\green{\alpha})^2+\cos(\green{\alpha})^2=1\]

Exemples

\[\begin{array}{rcl}\sin(\green{60^\circ})^2+\cos(\green{60^\circ})^2&=& \\ \left(\purple{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)^2 + \left(\blue{\frac{1}{2}}\right)^2 &=&\\ \frac{3}{4}+\frac{1}{4}&=&\\1 \\ \\ \sin(\green{225^\circ})^2+\cos(\green{225^\circ})^2&=&\\ \left(\purple{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^2 + \left(\blue{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^2&=&\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}&=&\\1 \end{array}\]

Il y a également des angles supérieurs à # 360^\circ# ou # 2\pi#.

Ces angles correspondent à une rotation complète du cercle trigonométrique et plus. La longueur de l'arc intercepté est alors \[\text{longueur de l'arc}=2 \pi \cdot \text{nombre de rotations complètes}+\text{angle du cercle trigonométrique}\]

Le cosinus et le sinus d'angles auxquels sont ajoutés des multiples de #2\pi# sont égaux. Ainsi:

\[\begin{array}{c}\sin(\alpha+2 \pi)=\sin(\alpha)\\ \\ \cos(\alpha+2 \pi)=\cos(\alpha) \end{array}\]

De même pour les angles négatifs. Dans ce cas, nous effectuons des rotations complètes dans le sens des aiguilles d'une montre.

Exemple

\[\begin{array}{rcl}\cos(\tfrac{5}{2}\pi)&=&\cos(\tfrac{1}{2}\pi+2 \pi)\\ &=&\cos(\tfrac{1}{2}\pi)\\ &=&0 \\ \\ \sin(\tfrac{7}{3}\pi)&=&\sin(\tfrac{1}{3}\pi+2 \pi) \\&=& \sin(\tfrac{1}{3}\pi)\\ &=&\tfrac{1}{2}\sqrt{3}\end{array}\]

Nous avons la relation suivante pour chaque angle #\green{\alpha}# exprimé en radians. \[\sin(\green{\alpha})^2+\cos(\green{\alpha})^2=1\]

Nous avons le triangle rectangle de côtés #\purple{y_p}=\sin(\green{\alpha})# et #\blue{x_p}=\cos(\green{\alpha})# et qui a pour hypoténuse le côté de longueur #1#. La relation découle du théorème de Pythagore.

Ainsi, la relation fondamentale de la trigonométrie est aussi bien valable pour les angles en degrés que pour les angles en radians.

Exemples

\[\begin{array}{rcl}\sin(\green{\frac{1}{3}\pi})^2+\cos(\green{\frac{1}{3}\pi})^2&=& \\ \left(\purple{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)^2 + \left(\blue{\frac{1}{2}}\right)^2 &=&\\ \frac{3}{4}+\frac{1}{4}&=&\\1 \\ \\ \sin(\green{\frac{5}{4}\pi})^2+\cos(\green{\frac{5}{4}\pi})^2&=&\\ \left(\purple{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^2 + \left(\blue{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^2&=&\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}&=&\\1 \end{array}\]