Factorisation

Algèbre: Factorisation

Factorisation

Nous avons vu comment nous pouvons factoriser une expression en l'écrivant avec des parenthèses simples. Maintenant, nous allons voir comment nous pouvons réécrire une expression avec des parenthèses doubles.

Méthode de produit-somme

Par la méthode de produit-somme, nous essayons d'écrire l'expression #x^2+\blue{b}\cdot x+\green{c}# comme #\left(x+\purple{m}\right) \cdot \left(x+\purple{n}\right)#.

Nous le faisons en cherchant deux nombres #\purple{m}# et #\purple{n}#, tels que \[\purple{m}+\purple{n}=\blue{b} \text{ et } \purple{m} \cdot \purple{n}=\green{c}\]

Exemple

\[\begin{array}{c}x^2+\blue{4}\cdot x+\green{3} = (x+\purple{3}) \cdot (x+\purple{1})\\ \phantom{x} \\ {\text{car }\;\;\purple3+\purple1=\blue4 \;\;\text{ et }\;\;\purple3 \cdot \purple1 =\green3}\end{array}\]

Autres exemples

Autres exemples

\[\begin{array}{rcl}
x^2+\blue5 \cdot x+\green6&=&(x+\purple{2}) \cdot (x+\purple{3}) \\&& \phantom{x}{\text{car }\purple2+\purple3=\blue5 \text{ et }\purple2 \cdot \purple3 =\green6}\\ \\x^2\blue{-4} \cdot x+\green4&=&(x\purple{-2}) \cdot (x \purple{-2})\\ && \phantom{x}{\text{car }\purple{-2}+\purple{-2}=\blue{-4} \text{ et}\purple{-2} \cdot \purple{-2} =\green{4}}\end{array}\]

Restriction

Factoriser une expression #x^2+\blue{b} \cdot x +\green{c}# n'est pas toujours possible. En pratique, nous cherchons seulement une factorisation avec des nombres entiers pour #\purple{m}# et #\purple{n}#.

Preuve

Nous avons vu la propriété de la distributivité double:

\[\begin{array}{rcl}\left(x+\purple{m}\right) \cdot \left(x+\purple{n}\right)&=&x \cdot x + x \cdot \purple{n} + \purple{m} \cdot x + \purple{m}\cdot \purple{n} \\ &=&x^2+\left(\purple{m}+\purple{n}\right) \cdot x + \purple{m}\cdot \purple{n}\end{array}\]

En lisant de la droite à la gauche, à savoir: \[x^2+\left(\purple{m}+\purple{n}\right) \cdot x + \purple{m}\cdot \purple{n}=\left(x+\purple{m}\right) \cdot \left(x+\purple{n}\right)\] nous reconnaissons la méthode de produit-somme.

La méthode de produit-somme est une conséquence de la propriété de la distributivité double.

Dans l'exemple ci-dessous, nous allons expliquer comment nous pouvons trouver les bons nombres pour la factorisation de #x^2+b \cdot x +c#.

Écrivez l'expression #x^2-16\cdot x+63# comme un produit de facteurs linéaires.

#x^2-16\cdot x+63=# \((x+7)\cdot(x+9)\)

Nous cherchons deux nombres #p# et #q# tels que le trinôme carré #x^2-16\cdot x+63# peut être écrit sous la forme #(x-p)\cdot(x-q)#. Si la valeur absolue de #p# est supérieure à #q#, nous les échangeons pour avoir #|p|\le |q|#. Nous développons les parenthèses et comparons le résultat avec l'expression de l'énoncé:
\[ x^2-(p+q)\cdot x+p\cdot q = x^2-16\cdot x+63\tiny\]
Une comparaison avec #x^2-16\cdot x+63# donne \[
\lineqs{p+q &=& -16\cr p\cdot q &=& 63}\] Si #p# et #q# sont des entiers, alors ils sont des diviseurs de #63#. Nous considérons tous les diviseurs possibles pour #p# avec #p^2\le |63|# (qui doit être satisfait comme #|p|\le |q|#) et dans chaque cas, nous calculons la somme de #p# et #q=\frac{63}{p}# :
\[\begin{array}{|r|c|l|}
\hline
p&q&{p+q}\\
\hline
1&63&64\\ \hline -1&-63&-64\\ \hline 3&21&24\\ \hline -3&-21&-24\\ \hline 7&9&16\\ \hline -7&-9&-16 \\
\hline
\end{array}\]
La ligne de la table avec #p=-7# et #q=-9# est la seule qui a pour somme #-16#, donc:
\[x^2-16\cdot x+63=(x+7)\cdot(x+9)\tiny.\]

Nouveau exemple

Les exemples ci-dessous montrent qu'il y a aussi d'autres situations dans lesquelles nous pouvons factoriser. Nous verrons aussi que nous pouvons combiner parfois la mise en évidence avec la méthode de produit-somme.

Factorisez autant que possible: #x^2+4\cdot x+4#.

#\left(x+2\right)^2#

Comme le produit de #2# et #2# est égal à #4# et la somme est égale à #4#, nous avons:
\[x^2+4\cdot x+4= \left(x+2\right)^2\]

Nouveau exemple