Calculs avec des racines carrées

Algèbre: Puissances et racines

Calculs avec des racines carrées

Les règles suivantes sont très utiles pour simplifier des expressions avec des racines carrées.

\[\sqrt{\blue a \cdot \green b}=\sqrt{\blue a} \cdot \sqrt{\green b}\]

Exemple

\[\begin{array}{rcl}\sqrt{\blue 4 \cdot \green x}&=&\sqrt{\blue 4} \cdot \sqrt{\green x}\\ &=& 2 \cdot \sqrt{\green x} \end{array}\]

Pas de règle pour l'addition

Il n'y a pas de règle similaire pour additionner des racines carrées. Par conséquent:

\[ \sqrt{a+b} \; \red{\ne} \; \sqrt{a} + \sqrt{b} \]

Exemple

\[\sqrt{9+16} \;\red{\not=}\; \sqrt{9} + \sqrt{16} \]

\[\sqrt{\frac{\blue a}{\green b}}=\frac{\sqrt{\blue a}} {\sqrt{\green b}}\]

Exemple

\[\begin{array}{rcl}\sqrt{\dfrac{\blue 4}{\green x}}&=&\dfrac{\sqrt{\blue 4}}{\sqrt{\green x}}\\ &=& \dfrac{2}{\sqrt{\green x}} \end{array}\]

Pour #\blue a \geq 0#, nous avons:

\[\sqrt{\blue a^2}=\blue a\]

\[\left(\sqrt{\blue a}\right)^2=\blue a\]

Exemples

\[\begin{array}{rcl}\sqrt{\blue x^4}&=&\sqrt{\blue x^2 \cdot \blue x^2}\\ &=& \sqrt{\blue x^2} \cdot \sqrt{\blue x^2} \\ &=& \blue x \cdot \blue x \\&=&\blue x^2\\ \\ \left(\sqrt{\blue x}\right)^4 &=& \left(\left(\sqrt{\blue x}\right)^2\right)^2 \\ &=& \blue x^2\end{array}\]

Avancée

Pour la première règle, si #\blue a# est négatif, alors nous aurons également un nombre positif sous la racine. Comme une racine carrée est toujours positive, #\blue a# ne peut pas être négatif.

Car #\sqrt{(-5)^2} =5 \ne -5#.

Nous pouvons reformuler cette règle pour un nombre négatif #\blue a#, nous trouvons alors:

\[\sqrt{\blue a^2}=\abs{\blue a}\]

Ici #\abs{\blue a}# est la valeur absolue de #\blue a#, ce qui signifie que la valeur est toujours positive. Par conséquent, #\abs{-5}=5#.

Supposons que #a \ge 0# et #y \ge 0#. Écrivez sans racine: #\sqrt{25 \cdot a^{2} \cdot y^{6}}#

#5 \cdot a \cdot y^3#

#\begin{array}{rcl}
\sqrt{25 \cdot a^{2} \cdot y^{6}}&=& \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{y^{6}} \\
&& \phantom{xxx}\blue{\text{règle }\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}\\
&=& 5 \cdot a \cdot y^3\\
&& \phantom{xxx}\blue{\text{règle }\sqrt{a^2}=a \text{ et calcul de la racine carrée}}
\end{array}#

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