Calculs avec des puissances à exposants fractionnaires

Algèbre: Puissances et racines

Calculs avec des puissances à exposants fractionnaires

Une puissance à exposant fractionnaire est une puissance dont l'exposant peut être écrit sous forme d'une fraction. Une racine peut être écrite comme une puissance à exposant fractionnaire.

Pour #\blue a\geq 0# et un entier #\orange n \geq 2# nous avons:

\[\blue a^{\frac{1}{\orange n}}=\sqrt[\orange n]{\blue a}\]

Exemples

\[\begin{array}{rcl}\blue{x}^{\frac{1}{\orange{2}}}&=& \sqrt{\blue{x}}\\ \\ \blue{x}^{\frac{1}{\orange{5}}}&=&\sqrt[\orange{5}]{\blue{x}}\end{array}\]

Pour #\blue a \geq 0# et des entiers #\orange n, \purple m \geq 2# nous avons:

\[\blue a^{\frac{\purple m}{\orange n}}=\sqrt[\orange n]{\blue a^\purple m}\]

Exemples

\[\begin{array}{rcl}\blue{x}^{\frac{\purple{3}}{\orange{2}}} &=& \sqrt{\blue{x^\purple{3}}}\\ \\ \blue{x}^{\frac{\purple{3}}{\orange{5}}}&=&\sqrt[\orange{5}]{\blue{x^\purple{3}}}\end{array}\]

Cette règle peut être en déduite de la première règle.

\[\begin{array}{rcl}\sqrt[\orange n]{\blue a^\purple m}&=& \left(\blue a^\purple m\right)^{\frac{1}{\orange n}}\\&& \phantom{xxxxx}\blue{\text{règle }\sqrt[n]{a}=\blue a^{\frac{1}{n}}}\\&=&\blue a^{\frac{\purple m}{\orange n}}\\&& \phantom{xxxxx}\blue{\text{règle de calcul des puissances }\left(a^m\right)^n=a^{m \cdot n}} \end{array}\]

Pour les puissances à exposants fractionnaires s'appliquent les mêmes règles que pour les puissances à exposants entiers.

Éliminez les parenthèses et écrivez la réponse sous forme d'une seule fraction.
\[\left(x^{\frac{1}{4}} \cdot f \cdot b^{-4}\right)^{4}\]
Simplifiez votre réponse autant que possible et écrivez-la sans aucune puissance fractionnaire et sans exposants négatifs.

#\dfrac{x \cdot f^{4}}{b^{16}}#

#\begin{array}{rcl}
\left(x^{\frac{1}{4}} \cdot f \cdot b^{-4}\right)^{4} &=& \left(x^{\frac{1}{4}}\right)^{4} \cdot f^{4} \cdot \left(b^{-4}\right)^{4} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{règle } \left(a \cdot b \right)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}} \\
&=& x^{\frac{1}{4} \cdot 4} \cdot f^{4} \cdot b^{-4 \cdot 4} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{règle } \left(a^{n}\right)^{m} = a^{n \cdot m}} \\
&=& x^{1} \cdot f^{4} \cdot b^{-16}
\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{calcul des exposants}}\\
&=& \dfrac{x \cdot f^{4}}{b^{16}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{élimination des exposants négatifs et fractionnaires par les règles }} \\&&\phantom{xxx}\blue{a^{-n}=\frac{1}{a^n} \text{ et } a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}}
\end{array}#

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