Multiplication de fractions

Algèbre: Fractions

Multiplication de fractions

Produit de deux fractions

Pour multiplier deux fractions, nous multiplions les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

\[\frac{\orange{a}}{\blue{b}} \cdot \frac{\purple{c}}{\green{d}}=\frac{\orange{a} \cdot \purple{c}}{\blue{b} \cdot \green{d}}\]

Exemple

\[\begin{array}{rcl} \dfrac{\orange{x}}{\blue{y}} \cdot \dfrac{\purple{5}}{\green{y^2}}&=&\dfrac{\orange{x} \cdot\purple{ 5}}{\blue{y }\cdot\green{ y^2}} \\ &=& \dfrac{{5 \cdot x}}{{y^3}}\end{array}\]

Simplification

De même pour la multiplication de fractions, nous simplifions la réponse si possible.

Exemple

\[\begin{array}{rcl} \dfrac{\orange{x^2}}{\blue{y^2}} \cdot \dfrac{\purple{3 \cdot y}}{\green{x}}&=&\dfrac{\orange{x^2} \cdot \purple{3 \cdot y}}{\blue{y^2} \cdot \green{x}} \\ &=& \dfrac{{3 \cdot x}}{{y}}\end{array}\]

Parenthèses

De même pour la multiplication de fractions, nous mettons des parenthèses supplémentaires si le numérateur ou le dénominateur comprend plusieurs termes.

Exemple

\[\begin{aligned} \dfrac{\orange{x^2+1}}{\blue{y+1}} \cdot \dfrac{\purple{y+1}}{\green{x^2}}&=\dfrac{\orange{(x^2 +1)} \cdot \purple{(y+1)}}{\blue{(y+1)} \cdot \green{x^2}} \\ &= \dfrac{{x^2+1}}{{x^2}}\end{aligned}\]

Cas particulier

\[\begin{array}{rcl}
\orange{a} \cdot \dfrac{\purple{c}}{\green{d}}
&=&
\dfrac{\orange{a} \cdot \purple{c}}{ \green{d}}
\end{array}\]

Exemple

# \begin{array}{rcl}
\orange{x} \cdot \dfrac{\purple{2}}{\green{xy}}
&=&
\dfrac{\orange{x} \cdot \purple{2}}{ \green{xy}}\\
&=&\dfrac{2}{y}
\end {array} #

\[\begin{array}{rcl}
\orange{a} \cdot \dfrac{\purple{c}}{\green{d}}
&=& \dfrac{\orange{a}}{\blue{1}} \cdot \dfrac{\purple{c}}{\green{d}} \\
&&\qquad\blue{\text{règle \(\tfrac{a}{1}=a\)}} \\
&=& \dfrac{\orange{a} \cdot \purple{c}}{\blue{1}\cdot \green{d}} \\
&&\qquad\blue{\text{règle \(\frac{{a}}{{b}} \cdot \frac{{c}}{{d}}=\frac{{a} \cdot {c}}{{b} \cdot {d}}\)}} \\
&=& \dfrac{\orange{a} \cdot \purple{c}}{ \green{d}} \\
&&\qquad\blue{\text{règle \(1\cdot x = x\)}}
\end{array}\]

Calculez et simplifiez autant que possible:
\[\dfrac{x^2}{z} \cdot \dfrac{y\cdot z}{x-x^2}\]

#-{{x\cdot y}\over{x-1}}#

#\begin{array}{rcl}
\dfrac{x^2}{z} \cdot \dfrac{y\cdot z}{x-x^2} &=& \dfrac{ {x^2} \cdot {y\cdot z}}{{z} \cdot \left( x-x^2\right)}\\
&& \phantom{xxx}\blue{\text{multiplication des numérateurs entre eux et des dénominateurs entre eux}}\\
&=& \displaystyle -{{x\cdot y}\over{x-1}}
\\ && \phantom{xxx}\blue{\text{simplification}}\\
\end{array}#

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