Algèbre: Expressions algébriques
Réduction à l'aide de propriétés
Lors de l'addition de nombres, nous pouvons échanger l'ordre des termes:
\[\blue{\text{1er nombre}} + \green{\text{2e nombre}}= \green{\text{2e nombre}} +\blue{\text{1er nombre}}\]
Nous pouvons écrire cela d'une manière plus formelle en utilisant des variables:
Ici #\blue a# et #\green b# représentent des nombres quelconques. Quel que soient les nombres que vous substituez pour #\blue a# et #\green b#, cette égalité reste toujours vraie. Pour \(\green a\) et \(\blue b\) nous pouvons tout aussi bien substituer d'autres variables, ce qui est utile lors de la réduction d'expressions comme dans l'exemple ci-contre.
Exemples
\[{\begin{array}{rcl}{x+\blue{y}+\green{2x} +y }&{=}& {x + \green{2x}
+ \blue{y} +y}\\
&{=}&{3x + y +y} \\
&{=}&{3x+2y}
\end{array}}\]
En mathématiques, il y a beaucoup de résultats qui sont vrais pour des nombres quelconques. Un autre exemple est \[\blue{a} + 0 = \blue a\] Ceci est appelé une propriété ou encore une règle.
Ci-contre sont des exemples d'autres règles qui sont vraies pour tout nombre #\blue{a}#.
Exemples
\[\begin{array}{rcl}
1\cdot \blue{a} &=& \blue a \\ \\
-1\cdot \blue{a} &=& -\blue a \\ \\
0\cdot \blue{a} &=& 0 \\
\end{array}\]
Dorénavant, nous allons noter les règles avec des exemples d'application. Nous allons mettre en avant à l'aide de couleurs la façon dont les variables sont remplacées.
\[1\cdot \blue{a} = \blue a\]
Exemple
\[3x-2x = 1\cdot \blue{x} = \blue{x}\]
\[-1\cdot \blue{a} = -\blue a\]
Exemple
\[4x-5x = -1\cdot \blue{x} = -\blue{x}\]
\[0\cdot \blue{a} = 0\]
Exemple
\[4x^2-4x^2 = 0\cdot \blue{4x^2} = 0\]
#3 x#
#\begin{array}{rcl}
-4 x -3 x y + 7 x + 3 x y &=& -4x + 7 x -3 x y + 3xy \\
&& \qquad\blue{\text{règle \(a+b=b+a\)}}\\
&=&3 x -3 x y + 3 x y \\
&& \qquad\blue{\text{les coefficients de \(x\) sont ajoutés}}\\
&=& 3 x + 0 x y \\
&& \qquad\blue{\text{les coefficients de \(xy\) sont ajoutés}}\\
&=& 3 x + 0
\\ && \qquad\blue{\text{règle \(0\cdot a = 0\)}}\\
&=& 3 x
\\ && \qquad\blue{\text{règle \(a+0= 0\)}}\\
\end{array}#
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