Vectoren

Meetkunde: Lissajousfiguren

Vectoren

Het concept van pijlen met een zekere richting en een zekere lengte in het vlak kan worden nauwkeurig(er) worden bepaald met vectoren. Vectoren zijn objecten met lengte (of grootte) en richting. We beginnen met de notie van een "verplaatsingsvector".

Laat #\blue A# en #\green B# punten in het vlak zijn. Definieer de verplaatsingsvector #\vec{\blue A \green B}# als de (rechte) pijl vanaf #\blue A# die eindigt bij #\green B#.

We zeggen dat #\blue A# de beginpositie van #\vec{ \blue A \green B}# is en #\green B# is de eindpositie van #\vec{ \blue A \green B}#.

De oorsprong wordt aangegeven met de letter #O#

Voorbeeld

De volgende afbeelding geeft #\vec{O \green B}# waarbij #\green B=\ivcc{1}{2}#.

Twee verplaatsingsvectoren kunnen worden opgeteld zolang het eindpunt van één samenvalt met het beginpunt van de andere.

Laat #\blue A, \green B# en #\orange C# drie punten in het vlak zijn. Definieer de som van #\vec{\blue A \green B}# en #\vec{ \green B \orange C}# als

\[ \vec{\blue A \green B} + \vec{ \green B \orange C} = \vec{ \blue A \orange C }\]

Een verplaatsingsvector kan altijd worden "verschoven". Dit geeft de notie van een vector. Intuïtief gezien is een vector een verplaatsingsvector zonder aangegeven beginpositie.

Een vector #\blue{\vec{x}}# is een pijl in het vlak dat kan worden verschoven, zonder te draaien of rekken/krimpen, naar de verplaatsingsvector #\vec{OA}# voor een punt #A# in het vlak.

Als #A=\rv{x_1,x_2}#, geven we de vector #\blue{\vec{x}}# aan met #\cv { x_1 \\x_2 }#.

Merk op dat er meerdere representanten van dezelfde vector zijn. Het figuur toont verschillende representanten van de vector #\cv{1\\2}#.

Voorbeeld

Zoals gezegd, is het gebruikelijk om onze vectoren te verschuiven naar een vector van de vorm #\vec{OA}#. In dit geval kunnen we er ook voor kiezen om #A=[x_1,x_2]# te schrijven voor de vector.

De lengte van een vector kan worden berekend met behulp van de stelling van Pythagoras.

Gegeven een vector #\blue{\vec{x}}=\cv{ \green{x_1}\\ \orange{x_2} }#, de lengte van de vector, aangeduid met #\| \blue{\vec{x}} \|# wordt gegeven door

\[\| \blue{\vec{x}} \| = \sqrt{\green{x_1}^2+\orange{x_2}^2}\]

Voorbeeld

De lengte van #\blue{\vec{x}}=\cv{\green{1}\\ \orange{2}}# wordt gegeven door \[\|\blue{\vec{x}}\|=\sqrt{\green 1^2+ \orange 2^2}=\sqrt{5}\]

De stelling van Pythagoras

Zoals gezegd is deze lengte berekend met de stelling van Pythagoras. Neem het figuur aan de rechterkant.

We zien een rechthoekige driehoek met zijden #\green{x_1}# en #\orange{x_2}#. De lengte van de hypotenusa wordt gegeven door #\sqrt{\green{x_1}^2 + \orange{x_2}^2 }#.

Dit komt overeen met de lengte van de vector #\blue{\vec{x}}#

afbeelding

Merk op dat de lengte van een vector altijd positief is, behalve voor de nulvector, welke lengte nul heeft.

Het optellen van vectoren is aanzienlijk eenvoudiger dan het optellen van verplaatsingsvectoren. Twee vectoren worden kunnen bijvoorbeeld altijd worden opgeteld, terwijl twee verplaatsingsvectoren moeten uitlijnen om te worden opgeteld. We kunnen ook "scalaire vermenigvuldiging" definiëren.

Laat #\blue{\vec{x}} =\blue{\cv{x_1\\x_2}}# en #\green{\vec{y}}=\green{\cv{y_1\\y_2}}# twee vectoren zijn, en #c# een reëel getal. We definiëren de som van #\blue{\vec{x}}# en #\green{\vec{y}} # als \[\blue{\vec{x}}+\green{\vec{y}}=\cv{\blue{x_1}+\green{y_1}\\\blue{x_2}+\green{y_2}}\]

en de scalaire veelvoud #\orange{c} \cdot \blue {\vec{x}}#

\[\orange{c} \cdot \blue{\vec{x}}=\cv{\orange{c}\cdot \blue{x_1}\\ \orange{c}\cdot \blue{ x_2}}\]

Voorbeeld

De geometrie van het toevoegen van twee vectoren wordt het best weergegeven door de zogenaamde kopstaartregel. Deze regel stelt dat gegeven twee vectoren #\blue{\vec{x}}# en #\green{\vec{y}}#, de som van deze twee wordt gegeven door #\green{\vec{y}}# op het eindpunt van #\blue{\vec{x}}#. Dit is te zien in de figuur.

Figuur van scalaire veelvoud

Scalaire veelvoud

Hier is een figuur van de scalaire veelvoud van een vector. Je kan de waarde van #\orange c# aanpassen met de schuifregelaar in de rechter bovenhoek.

Merk op dat de richting van #\blue {\vec{x}} # verandert alleen als #\orange c# negatief is.

Figuur

Verplaatsingsvector

Laat #\blue A = \rv{\blue{x_1},\blue{x_2}}# en #\green B = \rv{\green{y_1},\green{y_2}}# punten in het vlak zijn. Dan weten we dat \[\vec{O\blue{A}}+ \vec{\blue A \green B} = \vec{O\green{B}}\]

De verplaatsingsvector #\vec{\blue A \green B}# kan nu worden berekend als het verschil tussen #\vec{O\green{B}}# en #\vec{O\blue{A}}#, \[ \begin{array}{rcl}
\vec{\blue A \green B} &=& \vec{O\green{B}} - \vec{O\blue{A}} \\
&=&\cv{\green{y_1 \\ y_2}} - \cv{\blue{x_1 \\ x_2}} \\
&=& \cv{\green{y_1} - \blue{x_1} \\ \green{y_2} - \blue{x_2} }
\end{array}\]

Voorbeeld

#\blue{A} = \rv{\blue 1,\blue 2}# en #\green{B} = \rv{\green 4,\green 3}# dan \[\vec{\blue A \green B} = \cv{\green 4-\blue 1 \\ \green 3-\blue 2} = \cv{3 \\ 1} \]

Bereken, uitgaande van de vectoren #\vec{u}=\rv{11,-12}# en #\vec{v}=\rv{-12,-12}#, de vector

\[ 3\cdot \vec{u}-3\cdot \vec{v}\tiny.\]

\(3\cdot\vec{u}-3 \cdot \vec{v}=\) # \left[ 69 , 0 \right]#

Dit volgt uit de volgende berekening:
\[\begin{array}{rclcl} 3\cdot\vec{u}-3\cdot\vec{v}&=&3\cdot\rv{11,-12}-3\cdot\rv{-12,-12}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{definities }\vec{u}, \vec{v}}\\
&=&\rv{3\cdot 11, 3\cdot -12}+\rv{-3\cdot-12, -3\cdot -12}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{vermenigvuldiging per coördinaat}}\\
&=&\rv{33, -36}+\rv{36, 36}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\
&=&\rv{33+36, -36+36}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{optelling per coördinaat}}\\
&=&\rv{69,0}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\end{array}\]

In onderstaande figuur zijn de vectoren #\vec{u}# en #\vec{v}# zwart getekend, de vectoren #3\cdot \vec{u}# en #-3\cdot\vec{v}# blauw gestreept, en de vector #3\cdot\vec{u}-3\cdot\vec{v}# rood gestippeld.

Nieuw voorbeeld