Snijpunten van een lijn en een cirkel

Meetkunde: Cirkels

Snijpunten van een lijn en een cirkel

Een lijn en een cirkel kunnen twee, één of geen snijpunten hebben. In het geval dat ze één snijpunt hebben, noemen we de lijn een raaklijn aan de cirkel.

In de figuur zien we een lijn en een cirkel. Verplaats de cirkel door het middelpunt te verplaatsen of met de schuifbalk de straal te veranderen. Verplaats de lijn door de twee punten op de lijn te verslepen. Bekijk wat er gebeurt met het aantal snijpunten.

In het stappenplan wordt uitgelegd hoe we de snijpunten van een lijn en een cirkel kunnen vinden.

Snijpunten lijn en cirkel

	Stappenplan	Voorbeeld
	We bepalen de snijpunten van een lijn #\blue l# en een cirkel #\green c#.	#\blue l: \blue{y-2x=4}# #\green c: \green{(x+2)^2+(y-1)^2=1}#
Stap 1	Schrijf de vergelijking van lijn #\blue l# in de vorm #y=\ldots#	#\blue l: \blue{y=2x+4}#
Stap 2	Substitueer de vergelijking van lijn #\blue l#, zoals gevonden in stap 1, in de vergelijking van cirkel #\green c#.	#(x+2)^2+(2x+4-1)^2=1#
Stap 3	Bepaal de discriminant van de ontstane kwadratische vergelijking in #x# uit stap 2. #D \lt 0#, dan hebben #\blue l# en #\green c# geen snijpunten, we zijn klaar. #D=0#, dan hebben #\blue l# en #\green c# één snijpunt, ga verder met stap 4. #D \gt 0#, dan hebben #\blue l# en #\green c# twee snijpunten, ga verder met stap 4.	#5x^2+16x+12=0# #\begin{array}{rcl}D&=&16^2-4 \cdot 5 \cdot 12\\&=&16 \\ &\gt& 0\end{array}# Dus twee snijpunten.
Stap 4	Bepaal de #x#-coördinaten van de snijpunten door de kwadratische vergelijking uit stap 2 verder op te lossen.	#x=\tfrac{-16-\sqrt{16}}{2 \cdot 5} \lor \tfrac{-16+\sqrt{16}}{2\cdot 5}# # x=-2 \lor x=-\tfrac{6}{5}#
Stap 5	Substitueer de gevonden #x#-coördinaten uit stap 4 in de vergelijking van de lijn uit stap 1 om de bijbehorende #y#-coördinaten te bepalen.	Als #x=-2#, dan #y=2 \cdot -2+4=0# Als #x=-\tfrac{6}{5}#, dan #y=2 \cdot -\tfrac{6}{5}+4=\frac{8}{5}#

Grafisch

\[\phantom{x}\]

In de figuur staat lijn #\blue l: \blue{y-2x=4}# en cirkel #\green c: \green{(x+2)^2+(y-1)^2=1}# uit het voorbeeld.

Rol x en y verwisselen

We kunnen in stap #1# de vergelijking van lijn #l# ook herschrijven tot de vorm #x=\ldots#. De rest van de stappen werkt dan op dezelfde manier, alleen worden de rol van #x# en #y# verwisseld. Dat betekent dat overal waar nu #x# staat, dan #y# moet staan en andersom. Op deze manier kunnen we ook de snijpunten met een verticale lijn vinden.

Bepaal de snijpunten van de lijn #l: y=4\cdot x+4# met de cirkel #c: \left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2=81#.

Geef je antwoord in de vorm

#geen# #\phantom{xxxwwxx}# als er geen snijpunt is,
#\left\{\rv{a,b}\right\}\phantom{xxxww}# als er één snijpunt is en
#\left\{\rv{a,b},\rv{c,d}\right\}\phantom{x}# als er twee snijpunten zijn,

waarbij #a#, #b#, #c#, #d# exacte getallen zijn.

#\left\{\rv{{{-3\cdot 2^{{{7}\over{2}}}-9}\over{17}},4-{{4\cdot \left(3\cdot 2^{{{7}\over{2}}}+9\right)}\over{17}}},\rv{{{3\cdot 2^{{{7}\over{2}}}-9}\over{17}},{{4\cdot \left(3\cdot 2^{{{7}\over{2}}}-9\right)}\over{17}}+4}\right\}#

Stap 1	De lijn #l# is al in de vorm #y=\ldots#.
Stap 2	We subsitueren de vergelijking van lijn #l# in de vergelijking van de cirkel. Dat geeft: \[\left(x-3\right)^2+\left(4\cdot x+4-1\right)^2=81\] Dit is te vereenvoudigen tot: \[\left(4\cdot x+3\right)^2+\left(x-3\right)^2=81\]
Stap 3	We herleiden de vergelijking uit stap 2 op #0# en werken de haakjes uit. Dat gaat als volgt: \[\begin{array}{rcl}\left(4\cdot x+3\right)^2+\left(x-3\right)^2&=&81 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{oorspronkelijke vergelijking}} \\ 17\cdot x^2+18\cdot x+18&=&81\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{haakjes uitgewerkt}} \\ 17\cdot x^2+18\cdot x-63 &=& 0 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{herleid op }0} \ \end{array}\] Nu lezen we #a#, #b# en #c# voor de abc-formule af. Dat geeft: #a=17#, #b=18# en #c=-63#. Nu kunnen we de discriminant uitrekenen. \[\begin{array}{rcl}D&=&b^2-4ac \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{formule discriminant}} \\ &=& (18)^2-4\cdot 17 \cdot -63 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld}} \\ &=& 4608 \end{array}\] Omdat de discriminant gelijk is aan #4608 \gt0#, zijn er #2# oplossingen.
Stap 4	We lossen de vergelijking verder op met behulp van de abc-formule. \[\begin{array}{rcl}x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} &\lor& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{abc-formule}} \\ x=\frac{-{18}-\sqrt{4608}}{2 \cdot 17} &\lor&\frac{-{18}+\sqrt{4608}}{2 \cdot 17} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{abc-formule ingevuld}} \\ x={{-3\cdot 2^{{{7}\over{2}}}-9}\over{17}} &\lor& x={{3\cdot 2^{{{7}\over{2}}}-9}\over{17}} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}} \end{array}\]
Stap 5	Nu bepalen we de bijbehorende #y#-waarden door de gevonden #x#-waarden in de vergelijking van lijn #l# te substitueren. Voor #x={{-3\cdot 2^{{{7}\over{2}}}-9}\over{17}}# geldt #y=4 \cdot {{-3\cdot 2^{{{7}\over{2}}}-9}\over{17}} +4=4-{{4\cdot \left(3\cdot 2^{{{7}\over{2}}}+9\right)}\over{17}}#. Voor #x={{3\cdot 2^{{{7}\over{2}}}-9}\over{17}}# geldt #y=4 \cdot {{3\cdot 2^{{{7}\over{2}}}-9}\over{17}} +4={{4\cdot \left(3\cdot 2^{{{7}\over{2}}}-9\right)}\over{17}}+4#. De snijpunten zijn dus: \[\left\{\rv{{{-3\cdot 2^{{{7}\over{2}}}-9}\over{17}},4-{{4\cdot \left(3\cdot 2^{{{7}\over{2}}}+9\right)}\over{17}}},\rv{{{3\cdot 2^{{{7}\over{2}}}-9}\over{17}},{{4\cdot \left(3\cdot 2^{{{7}\over{2}}}-9\right)}\over{17}}+4}\right\}\]

Nieuw voorbeeld