Stelsels lineaire vergelijkingen oplossen door substitutie

De oplossing van een stelsel komt overeen met het snijpunt van de lijnen die de twee lineaire vergelijkingen voorstellen.

Grafisch

geogebra plaatje

Substitutie methode

	Stappenplan	Voorbeeld
	Bij het oplossen van een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden met de substitutie methode gaan we als volgt te werk.	Los het volgende stelsel op: #\left\{\begin{array}{rcl}2 x +4 y+5&=& 0 \\ -3 x +2 y -4&=& 0 \end{array} \right.#
Stap 1	Druk in de eerste vergelijking #x# uit in #y# door middel van herleiding, dat wil zeggen schrijf de eerste vergelijking in de vorm #x=\ldots#.	#\left\{\begin{array}{c}x=-2 y-\frac{5}{2} \\-3 x +2 y -4=0 \end{array} \right.#
Stap 2	Substitueer de gevonden uitdrukking voor #x# in de tweede vergelijking, zodat de tweede vergelijking alleen nog de onbekende #y# bevat.	#\left\{\begin{array}{c}x=-2 y-\frac{5}{2} \\-3 \cdot \left(-2 y - \frac{5}{2}\right) +2 y -4=0 \end{array} \right.#
Stap 3	Los de vergelijking uit stap 2 op voor #y#.	#\begin{array}{rcl}-3 \cdot \left(-2 y - \frac{5}{2}\right) +2 y -4&=&0 \\6 y+\frac{15}{2} +2 y -4&=&0 \\8 y + \frac{7}{2}&=&0 \\8 y &=&-\frac{7}{2}\\y &=&-\frac{7}{16} \end{array}#
Stap 4	Bepaal #x# met behulp van de eerste vergelijking uit stap 1 door de gevonden waarde voor #y# uit stap 3 te substitueren.	#\begin{array}{rcl} x&=&-2 y-\frac{5}{2} \\ x&=&-2 \cdot- \frac{7}{16}-\frac{5}{2} \\ x&=&-\frac{13}{8}\end{array}#
Stap 5	Geef het antwoord in de vorm \[\lineqs{ x & =\;\; \ldots \\ y &=\;\; \ldots }\]	#\left\{\begin{array}{rcl}x &=&-\frac{13}{8} \\ y &=&-\frac{7}{16} \end{array}\right.#

Los het volgende stelsel vergelijkingen op.
\[\lineqs{x-y&=&7\cr
2\cdot x-5\cdot y&=&9\cr }\]

#\lineqs{x&=&{{26}\over{3}}\cr y&=&{{5}\over{3}}\cr }#

Stap 1	We herleiden de eerste vergelijking naar de vorm #x=\ldots#. Dan vinden we: \[\lineqs{x&=&y+7\cr 2\cdot x-5\cdot y&=&9\cr }\]
Stap 2	We substitueren de eerste vergelijking in de tweede. Dan vinden we: \[\lineqs{x&=&y+7\cr 2\cdot\left(y+7\right)-5\cdot y&=&9\cr }\]
Stap 3	Met behulp van haakjes uitwerking, vereenvoudiging en herleiding kunnen we de tweede vergelijking voor onbekende #y# oplossen. Dat gaat als volgt: \[\begin{array}{rcl}&\lineqs{x&=&y+7\cr 2\cdot\left(y+7\right)-5\cdot y&=&9\cr }& \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{het op te lossen stelsel}} \\ &\lineqs{x&=&y+7\cr 2\cdot y+14-5\cdot y&=&9\cr }& \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{haakjes uitgewerkt}} \\ &\lineqs{x&=&y+7\cr 14-3\cdot y&=&9\cr }& \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}} \\ &\lineqs{x&=&y+7\cr -3\cdot y&=&-5\cr }& \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten tweede vergelijking min }14} \\ &\lineqs{x&=&y+7\cr y&=&{{5}\over{3}}\cr }& \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten tweede vergelijking gedeeld door }-3} \end{array}\] Dus de #y#-waarde van de oplossing is #y={{5}\over{3}}#.
Stap 4	We bepalen nu #x# door #y={{5}\over{3}}# in de eerste vergelijking te substitueren. Dat gaat als volgt: \[\begin{array}{rcl}&\lineqs{x&=&{{5}\over{3}}+7\cr y&=&{{5}\over{3}}\cr }& \\ &&\phantom{xxx}\blue{y={{5}\over{3}} \text{ gesubstitueerd in de eerste vergelijking}} \\ &\lineqs{x&=&{{26}\over{3}}\cr y&=&{{5}\over{3}}\cr}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}} \\ \end{array}\]