Systèmes d'équations: Deux équations à deux inconnues
Résolution d'un système par combinaison
Nous avons vu comment résoudre un système d'équations par substitution. Il existe une autre méthode pour résoudre des systèmes d'équations linéaires, à savoir la méthode de combinaison linéaire. Cette méthode peut également être appliquée à des systèmes de plusieurs équations linéaires à plusieurs inconnues, alors que la méthode de substitution peut être assez compliquée dans le cas de ces systèmes.
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Procédure |
Exemple | |
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Lors de la résolution d'un système de deux équations linéaires à deux inconnues en utilisant la méthode de combinaison linéaire, nous appliquons la procédure suivante. |
Résolvez le système suivant: #\lineqs{\quad 2 \cdot x +4 \cdot y+5&= \quad 0 \cr \quad -3 \cdot x +2 \cdot y -4&= \quad 0 \cr}# |
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| Étape 1 |
Multipliez la première et / ou la deuxième équation par un nombre telle que les coefficients des #x# ou des #y# sont les mêmes dans les deux équations. |
#\lineqs{2 \cdot x +4 \cdot y+5=0 \cr -6 \cdot x +4 \cdot y -8=0 \cr}# |
| Étape 2 |
Soustrayez la deuxième équation de la première. Nous obtenons alors une équation en #x# ou en #y#. |
# \begin{array}{rcl}2 \cdot x +4 \cdot y+5&=&0 \\ -6 \cdot x +4 \cdot y -8&=&0\\ \hline 8\cdot x+13&=&0\end {array} - # |
| Étape 3 |
Résolvez l'équation de l'étape 2 par réduction. |
#x=-\frac{13}{8}# |
| Étape 4 |
Substituez la valeur obtenue à l'étape 3 dans l'une des équations données pour déterminer la valeur de l'autre inconnue. |
# \begin{array}{rcl}2 \cdot -\frac{13}{8}+4 \cdot y +5&=&0\\ 4 \cdot y +\frac{7}{4}&=&0\\ 4 \cdot y&=&-\frac{7}{4} \\ y&=&-\frac{7}{16} \end {array} # |
| Étape 5 |
Donnez la réponse sous la forme \[\lineqs{ x & =\;\; \ldots \\ y &=\;\; \ldots }\] |
#\lineqs{ x &= \;\; -\frac{13}{8} \\ y &= \;\; -\frac{7}{16} }# |
#\lineqs{x&=&-{{16}\over{5}}\cr y&=&{{44}\over{15}}\cr }#
Dans le système donné, le coefficient de #y# dans la première équation est égal à l'opposé du coefficient de #y# dans la deuxième équation. Ainsi, nous pouvons éliminer la variable #y# dans la première équation en remplaçant celle-ci par la somme des équations données. Ainsi, nous commençons à l'étape 2 de la procédure.
| Étape 2 | \[\begin{array}{rcl}3\cdot x+6\cdot y&=&8 \\ -8\cdot x-6\cdot y&=&8\\ \hline -5\cdot x&=&16\end{array}+\] |
| Étape 3 | Nous pouvons réduire cette équation pour obtenir #x#. \[\begin{array}{rcl} -5\cdot x&=&16 \\&&\phantom{x}\blue{\text{équation à résoudre}} \\ x&=& -{{16}\over{5}} \\&&\phantom{x}\blue{\text{division par }-5} \end{array}\] |
| Étape 4 | Nous substituons #x=-{{16}\over{5}}# dans la deuxième équation. Nous obtenons: \[\begin{array}{rcl} -8\cdot {-{{16}\over{5}}}-6\cdot y &=&8 \\&&\phantom{xyz}\blue{\text{substitution de }x=-{{16}\over{5}} \text{ dans la deuxième équation}}\\ {{128}\over{5}}-6\cdot y&=&8\\&&\phantom{xyz}\blue{\text{calculs effectués}}\\ -6\cdot y&=&-{{88}\over{5}}\\&&\phantom{xyz}\blue{\text{soustraction de }{{128}\over{5}}\text{ aux deux membres}}\\ y&=&{{44}\over{15}}\\&&\phantom{xyz}\blue{\text{division des deux membres par }-6} \end{array}\] |
| Étape 5 | Finalement, la soution du système est \[\lineqs{x&=&-{{16}\over{5}}\cr y&=&{{44}\over{15}}\cr }\] |
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