Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen: Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stel dat van twee onbekende getallen #x# en #y# gegeven is dat ze oplossingen zijn van de volgende lineaire vergelijkingen:

\[\lineqs{3 x +2 y +1&=&0\cr -2 x -3 y -6&=&0\cr}\]

We noemen dit een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden. De oplossing van het stelsel is het punt #\rv{x,y}# dat voor beide vergelijkingen een oplossing is. De oplossing van het stelsel is dus het snijpunt van de twee lijnen die de lineaire vergelijkingen voorstellen.

We kunnen een stelsel ook noteren met het teken voor "en", namelijk #\land#. Dat ziet er als volgt uit:

\[\begin{array}{rcl} 3 x +2 y +1=0 &\land&-2 x -3 y -6=0\end{array}\]

geogebra plaatje

Oplossing

De oplossing van

\[\lineqs{3 x +2 y +1&=&0\cr -2 x -3 y -6&=&0\cr}\]

is #\blue x=\blue{\tfrac{9}{5}}# en #\green y=\green{-\tfrac{16}{5}}#, want #3\cdot \blue{\tfrac{9}{5}} +2\cdot \green{-\tfrac{16}{5}} +1=0# en #-2\cdot \blue{\tfrac{9}{5}} -3 \cdot \green{-\tfrac{16}{5}}-6=0#

We zullen later zien hoe we systematisch de oplossing van een stelsel kunnen bepalen.

Bekijk het onderstaande stelsel lineaire vergelijkingen \[\lineqs{-2\cdot x+5\cdot y+1=0 \cr 7\cdot x+5\cdot y+4=0 \cr}\] Is het punt #\rv{-{{1}\over{3}}, -{{1}\over{3}}}# een oplossing van het stelsel?

Als #\rv{-{{1}\over{3}}, -{{1}\over{3}}}# een oplossing is, moeten beide vergelijkingen waar zijn als we #x=-{{1}\over{3}}# en #y=-{{1}\over{3}}# in de vergelijkingen substitueren.
Als we in dit geval #x=-{{1}\over{3}}# en #y=-{{1}\over{3}}# in het stelsel substitueren, krijgen we:
\[\lineqs{-2\cdot -{{1}\over{3}}+5\cdot -{{1}\over{3}}+1=0 \cr 7\cdot -{{1}\over{3}}+5\cdot -{{1}\over{3}}+4=0 \cr}\]
Dus beide vergelijkingen kloppen, dus #\rv{-{{1}\over{3}}, -{{1}\over{3}}}# is een oplossing van het stelsel.

Nieuw voorbeeld