Systèmes d'équations linéaires

Systèmes d'équations: Deux équations à deux inconnues

Systèmes d'équations linéaires

Supposez que pour deux nombres inconnus donnés #x# et #y#, nous savons qu'ils sont solutions aux équations linéaires suivantes:

\[\lineqs{3 x +2 y +1&=&0\cr -2 x -3 y -6&=&0\cr}\]

Nous appelons cela un système de deux équations à deux inconnues. La solution du système est le point #\rv{x,y}# qui est une solution des deux équations linéaires. Ainsi, la solution du système est le point d'intersection des deux droites qui représentent les équations linéaires.

Nous pouvons également écrire le système avec le symbole logique de « et » qui est #\land#. Nous obtenons alors:

\[\begin{array}{rcl} 3 x +2 y +1=0 &\land&-2 x -3 y -6=0\end{array}\]

GeoGebra plaatje

Solution

La solution de

\[\lineqs{3 x +2 y +1&=&0\cr -2 x -3 y -6&=&0\cr}\]

est #\blue x=\blue{\tfrac{9}{5}}# et #\green y=\green{-\tfrac{16}{5}}#, car #3\cdot \blue{\tfrac{9}{5}} +2\cdot \green{-\tfrac{16}{5}} +1=0# et #-2\cdot \blue{\tfrac{9}{5}} -3 \cdot \green{-\tfrac{16}{5}}-6=0#

Plus tard, nous allons voir comment nous pouvons déterminer la solution d'un système de manière systématique.

Considérez le système d'équations linéaires \[\lineqs{-4\cdot x-4\cdot y=0 \cr 6\cdot x+8\cdot y-6=0 \cr}\] Le point #\rv{5, -6}# est-il une solution du système?

Non

Si #\rv{5, -6}# est une solution, alors les deux équations doivent être vérifiées en substituant #x=5# et #y=-6#.
En substituant #x=5# et #y=-6# dans le système, nous obtenons:
\[\lineqs{-4\cdot 5-4\cdot -6=4 \ne 0 \cr 6\cdot 5+8\cdot -6-6=-24 \ne 0 \cr}\]
Les deux équations ne sont pas vérifiées. Donc #\rv{5, -6}# n'est pas une solution du système.

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