Détermination d'une équation de droite

Systèmes d'équations: Équation cartésienne d'une droite

Détermination d'une équation de droite

Graphique

GeoGebra plaatje

Détermination d'une équation de droite à l'aide de deux points

	Procédure	Exemple
	Déterminez une équation de la droite passant par deux points #A=\rv{\blue{x_A}, \blue{y_A}}# et #B=\rv{\green{x_B}, \green{y_B}}#.	Supposez que # A=\rv{\blue2, \blue5}# et #B=\rv{\green4,\green2}#.
Étape 1	Déterminez la pente #a# à l'aide de la formule: \[a=\frac{\green{y_B}-\blue{y_A}}{\green{x_B}-\blue{x_A}}\]	# \begin{array}{rcl}a&=&\dfrac{\green{y_B}-\blue{y_A}}{\green{x_B}-\blue{x_A}}\\ &=&\dfrac{\green2-\blue5}{\green4-\blue2}\\ &=&-\dfrac{3}{2}\end {array} #
Étape 2	L'équation est de la forme #y=a \cdot x+b# avec #a# de l'étape 1 et #b# un nombre indéfini.	#y=-\dfrac{3}{2} \cdot x+b#
Étape 3	Substituez le point #A=\rv{\blue{x_A},\blue{y_A}}# dans l'équation de l'étape 2: \[\blue{y_A}=a \cdot \blue{x_A}+b\]	#\blue5=-\dfrac{3}{2} \cdot \blue2 +b#
Étape 4	Résolvez l'équation de l'étape 3 d'inconnue #b#.	# \begin{array}{rcl}-\frac{3}{2} \cdot \blue{2} +b&=&\blue{5} \\ -3+b&=&5 \\ b &=&8 \end {array} #
Étape 5	Utilisez la valeur de #b# : \[y=a \cdot x+b\] trouvée à l'étape 4.	#y=-\dfrac{3}{2} \cdot x +8#

Droite horizontale

Une exception à cette procédure est une droite horizontale. Elle peut être reconnue à partir des ordonnées #y# des deux points qui sont alors égales. Ainsi, une droite passant par les points #A=\rv{x_A,\orange c}# et #B=\rv{x_B,\orange c}# a comme équation #y=\orange c#.

Exemple

La droite passant par les points #A=\rv{2,\orange8}# et #B=\rv{6, \orange8}# a comme équation \[y=\orange 8\]

Droite verticale

Une exception à cette procédure est une droite verticale. Elle peut être reconnue à partir des abscisses #x# des deux points qui sont alors égales. Ainsi, une droite passant par les points #A=\rv{\orange c, y_A}# et #B=\rv{\orange c, y_B}# a comme équation #x=\orange c#.

Exemple

La droite passant par les points #A=\rv{\orange8, 2}# et #B=\rv{\orange8,6}# a comme équation \[x=\orange 8\]

Détermination graphique d'une équation de droiteÀ l'aide de cette procédure, nous pouvons également déterminer une équation d'une droite à partir du graphique. Nous pouvons le faire en choisissant deux points convenables du graphique et en suivant la procédure avec ces points.

Exemple

Nous allons déterminer une équation de la forme #y=a \cdot x +b# pour la droite ci-dessous.

Nous allons d' abord choisir deux points convenables, par exemple #A=\rv{-2,0}# et #B=\rv{4,4}#. Nous suivons ensuite la procédure.

Étape 1 La pente #a# est calculée par la formule: \[a=\frac{4-0}{4--2}=-\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\]

Étape 2 Donc l'équation est de la forme #y=\tfrac{2}{3} \cdot x+b#.

Étape 3 Nous substituons le point #A=\rv{-2,0}# dans l'équation de l'étape 2. Nous obtenons: \[0=\tfrac{2}{3} \cdot -2 +b\]

Étape 4 Nous résolvons l'équation de l'étape 3 et nous obtenons: #b=\tfrac{4}{3}#.

Étape 5 Finalement, l'équation est #y=\tfrac{2}{3} \cdot x +\tfrac{4}{3}#.

Pour une pente donnée Pour déterminer une équation d'une droite, il suffit de connaître la pente et un point de la droite. Nous commençons alors à l'étape 2 de la procédure et substituons tout de suite la pente donnée.

Déterminez une équation de la droite qui passe par #\rv{2,-2}# et a comme pente #-4#.

Donnez votre réponse sous la forme #y=a\cdot x+b# avec les nombres corrects pour #a# et #b#.

# y = -4 \cdot x +6 #

Étape 1	La pente donnée est égale à #-4#.
Étape 2	Nous remplaçons la pente dans l'équation #y=a \cdot x+b#. Ainsi, l'équation est de la forme: \[y=-4\cdot x+b\] où #b# est un nombre à déterminer.
Étape 3	Nous substituons le point #\rv{2,-2}# dans l'équation de l'étape 2. Nous obtenons: \[ -2=-4\cdot 2+b\]
Étape 4	Nous résolvons l'équation de l'étape 3 par réduction. \[\begin{array}{rcl} -2&=&-4\cdot 2+b \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{équation à résoudre}}\\ -2&=&-8+b \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{réduction}}\\ 6&=&b \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{soustraction de }-8\text{ à gauche et à droite}}\\ \end{array}\] Ainsi, nous obtenons #b=6#.
Étape 5	Nous remplaçons maintenant #b=6# dans l'équation de l'étape 2. Finalement, l'équation de la droite est: \[y= -4\cdot x +6\]

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