Décomposition de fractions

Fonctions: Fonctions rationnelles

Décomposition de fractions

Nous avons vu comment nous pouvons décomposer les fractions à plusieurs termes au numérateur en une somme de plusieurs fractions de même dénominateur. Nous avons remarqué qu'il n'est pas toujours permis de décomposer le dénominateur. Pourtant, il y a des situations où cela est possible. Cela peut, entre autres, aider à intégrer ce type de fraction.

Voici quelques exemples de situations dans lesquelles les fractions peuvent être décomposées.

\[\begin{array}{rcl}\dfrac{7x+31}{(x+3) \cdot (x+5)}&=&\dfrac{5}{x+3}+\dfrac{2}{x+5} \\ \\ \dfrac{6x-4}{x\cdot (x-2)}&=&\dfrac{2}{x}+\dfrac{4}{x-2} \\ \\ \dfrac{12x+15}{x^2+x-2}&=& \dfrac{9}{x-1}+\dfrac{3}{x+2}\end{array}\]

Lorsque nous regardons ces exemples de plus proche, nous voyons que si nous multiplions les dénominateurs du membre de droite, alors nous obtenons le dénominateur du membre de gauche.

Nous allons maintenant voir comment nous pouvons décomposer un fraction de la forme #\frac{\purple l \cdot x+\orange m}{x^2+bx+c}#, dans laquelle le dénominateur #x^2+bx+c# peut être écrit comme #(x+\blue p) \cdot (x+\green q)#.

Décomposition de fractions

	Étape par étape	Exemple
	Nous décomposons une fraction de la forme #\frac{\purple l \cdot x+\orange m}{x^2+bx+c}# dans laquelle #x^2+bx+c# peut être écrit comme #(x+\blue p)\cdot (x+\green q)#.	#\frac{1}{x^2+5x+6}#
Étape 1	Écrivez #x^2+bx+c=(x+\blue p)\cdot (x+\green q)#.	#x^2+5x+6=(x+\blue 2) \cdot (x+\green 3)#
Étape 2	Écrivez #\frac{\purple l \cdot x+\orange m}{x^2+bx+c}=\frac{A}{x+\blue p}+\frac{B}{x+\green q}#	#\frac{\orange1}{x^2+5x+6}=\frac{A}{x+\blue 2}+\frac{B}{x+\green 3}#
Étape 3	Rendez le membre de droite au même dénominateur et comparez les numérateurs des deux membres. Ainsi, nous obtenons l'équation: \[\purple l \cdot x+\orange m=A\cdot(x+\green q)+B \cdot (x+\blue p)\]	\[\orange1=A \cdot (x+\green3) + B \cdot (x+\blue2)\]
Étape 4	Simplifiez l'équation de l'étape 3 en développant les parenthèses et en rassemblant les termes en #x#. \[\purple l \cdot x+\orange m=\left(A+B\right) \cdot x + A \cdot \green q + B \cdot \blue p \]	\[\orange1=(A+B) \cdot x+\green3A+\blue2B\]
Étape 5	Composez un système d'équations en comparant les coefficients des termes à gauche et à droite de l'équation de l'étape 4. \[\lineqs{\purple l &=& A+B\cr \orange m &=& A \cdot \green q + B \cdot \blue p\cr}\]	\[\lineqs{A+B&=&\purple0\cr \green3A+\blue2B&=&\orange1\cr}\]
Étape 6	Résolvez le système de l'étape 5 par substitution ou par élimination.	\[\lineqs{A=1 \cr B=-1}\]
Étape 7	Substituez les valeurs obtenues à l'étape 6 dans le membre de droite de l'équation de l'étape 2.	#\frac{1}{x+\blue2}+\frac{-1}{x+\green3}#

p=q

Si le dénominateur du second degré peut être écrit comme #(x+\blue p)^2#, alors il est également possible de décomposer la fraction. Cela fonctionne de la même manière sauf que nous devons appliquer une petite astuce en séparant l'étape 2 comme #\frac{A}{x+\blue p} + \frac{B}{(x+\blue p)^2}#. Nous pouvons alors suivre les étapes ci-dessous où la différence peut être trouvée à l'étape 2.

	Étape par étape	Exemple
	Nous décomposons une fraction de la forme #\frac{\purple l \cdot x+\orange m}{x^2+bx+c}# dans laquelle #x^2+bx+c# peut être écrit comme #(x+\blue p)^2#.	#\frac{x+1}{x^2+6x+9}#
Étape 1	Écrivez #x^2+bx+c=(x+\blue p)^2#.	#x^2+6x+9=(x+\blue 3)^2#
Étape 2	Écrivez #\frac{\purple l \cdot x+\orange m}{x^2+bx+c}=\frac{A}{x+\blue p}+\frac{B}{(x+\blue p)^2}#	#\frac{x+\orange1}{x^2+6x+9}=\frac{A}{x+\blue3}+\frac{B}{(x+\blue3)^2}#
Étape 3	Rendez le membre de droite au même dénominateur et comparez les numérateurs des deux membres. Ainsi, nous obtenons l'équation: \[\purple l \cdot x+\orange m=A\cdot(x+\blue p)+B \]	\[x+\orange1=A \cdot (x+\blue3) + B\]
Étape 4	Simplifiez l'équation de l'étape 3 en développant les parenthèses et en rassemblant les termes en #x#.	\[x+\orange1=A \cdot x+\blue3A+B\]
Étape 5	Composez un système d'équations en comparant les coefficients des termes à gauche et à droite de l'équation de l'étape 4.	\[\lineqs{A&=&\purple1\cr \blue3A+B&=&\orange1\cr}\]
Étape 6	Résolvez le système de l'étape 5 par substitution ou par élimination.	\[\lineqs{A=1 \cr B=-2}\]
Étape 7	Substituez les valeurs obtenues à l'étape 6 dans le membre de droite de l'équation de l'étape 2.	#\frac{1}{x+\blue3}+\frac{-2}{(x+\blue3)^2}#

Généralisation

Cette procédure étape par étape décrit la décomposition de fractions avec des dénominateurs très particuliers, mais cette méthode fonctionne également si le dénominateur peut être écrit sous forme d'un produit.

Discriminant du dénominateur

La condition que #x^2+bx+c# peut être écrit comme #(x+\blue p) \cdot (x+\green q)# est équivalente à la condition que le discriminant de l'équation du second degré #x^2+bx+c=0# est supérieur à #0#.

En outre, la condition que #x^2+bx+c# peut être écrit comme #(x+\blue p)^2# est équivalente à la condition que le discriminant de l'équation du second degré #x^2+bx+c=0# est égal à #0#.

Décomposez #\frac{1-4\cdot x}{x^2-10\cdot x+24}# en une somme de deux fractions ayant des dénominateurs linéaires.

#\frac{1-4\cdot x}{x^2-10\cdot x+24}=# #\frac{{{15}\over{2}}}{x-4}+\frac{-{{23}\over{2}}}{x-6}#

Étape 1	En factorisant, nous obtenons # x^2-10\cdot x+24 = (x-4) \cdot (x-6) #.
Étape 2	Nous écrivons #\frac{1-4\cdot x}{x^2-10\cdot x+24}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x-6}#
Étape 3	Nous mettons les fractions dans le membre de droite de l'équation et les rendons au même dénominateur. Nous comparons les numérateurs et obtenons l'équation: \[1-4\cdot x=B\cdot \left(x-4\right)+A\cdot \left(x-6\right)\]
Étape 4	Nous réduisons l'équation de l'étape 3 en développant les parenthèses: \[1-4\cdot x=B\cdot x+A\cdot x-4\cdot B-6\cdot A\]
Étape 5	Nous composons un système d'équations linéaires en comparant les coefficients des équations de l'étape 4. \[\lineqs{B+A=-4 \cr -4\cdot B-6\cdot A=1 \cr}\]
Étape 6	Les solutions du système de l'étape 5 sont égales à: \[\lineqs{A={{15}\over{2}} \cr B=-{{23}\over{2}} \cr}\]
Étape 7	Nous substituons maintenant les valeurs de l'étape 6 à l'étape 2. \[\frac{{{15}\over{2}}}{x-4}+\frac{-{{23}\over{2}}}{x-6}\]

Nouveau exemple