Équations avec des polynômes

Fonctions: Polynômes de degré supérieur à 2

Équations avec des polynômes

Des équations avec des polynômes de degré supérieur à 2 ne sont pas toujours résoluble à la main. Mais ici, nous allons considérer certaines situations dans lesquelles il est possible.

\[\blue A \cdot \green B=0\]

donne

\[\blue A=0 \lor \green B=0\]

Exemple

\[\begin{array}{c}\blue{x^2}\left(\green{x^2-2}\right)=0 \\ \\ \blue{x^2}=0 \lor \green{x^2-2}=0 \end{array}\]

\[\blue{A}^2=\green{B}^2\]

donne

\[\blue{A}=\green{B} \lor \blue{A}=-\green{B}\]

Exemple

\[\begin{array}{c}\left(\blue{x^2-4x}\right)^2=\green{x}^2 \\ \\ \blue{x^2-4x}=\green{x} \lor \blue{x^2-4x}=-\green{x} \end{array}\]

Nous pouvons démontrer cette règle à l'aide de la réduction, la factorisation et la règle #A \cdot B=0# si et seulement si #A=0 \lor B=0#. Cela se fait de la manière suivante:

\[\begin{array}{rcl}A^2&=&B^2 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{équation à résoudre}} \\ A^2-B^2&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{soustraction de }B^2} \\ \left(A-B\right)\left(A+B\right)&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{factorisation}} \\ A-B=0 &\lor& A+B=0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{A\cdot B=0 \Leftrightarrow A=0 \lor B=0} \\ A=B &\lor& A=-B \\ &&\phantom{xxx}\blue{B \text{ mis dans le membre de droite}} \end{array}\]

\[\blue{A} \cdot \green{B} = \blue{A} \cdot \purple{C}\]

donne

\[\blue{A}=0 \lor \green{B}=\purple{C}\]

Exemple

\[\begin{array}{c}\left(\blue{x^2-4}\right)\cdot\green{x^2}=\left(\blue{x^2-4}\right)\cdot\left(\purple{6x-8}\right) \\\\ \blue{x^2-4}=0 \lor \green{x^2} = \purple{6x-8}\end{array}\]

Nous pouvons démontrer cette règle à l'aide de la réduction, la factorisation et la règle #A \cdot B=0# si et seulement si #A=0 \lor B=0#. Cela se fait de la manière suivante:

\[\begin{array}{rcl}A \cdot B&=&A \cdot C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{équation à résoudre}} \\ A \cdot B - A \cdot C&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{soustraction de }A \cdot C} \\ A\cdot \left(B-C\right)&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{factorisation}} \\ A=0 &\lor& B-C=0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{A\cdot B=0 \Leftrightarrow A=0 \lor B=0} \\ A=0 &\lor& B=C\\ &&\phantom{xxx}\blue{C \text{ mis dans le membre de droite}} \end{array}\]

\[\blue{A} \cdot \green{B} = \blue{A} \]

donne

\[\blue{A}=0 \lor \green{B}=1\]

Exemple

\[\begin{array}{c}\left(\blue{x^2-4}\right)\cdot\green{x^2}=\left(\blue{x^2-4}\right)\ \\ \\ \blue{x^2-4}=0 \lor \green{x^2} = 1\end{array}\]

Cela peut être démontré facilement en choisissant #\purple{C}=1# dans la règle précédente

\[\blue{A} \cdot \green{B} = \blue{A} \cdot \purple{C} \Leftrightarrow \blue{A}=0 \lor \green{B}=\purple{C}\]

Résolvez l'équation
\[\left(x-5\right)\left(3\cdot x^2-2\right)=0\]
Donnez votre réponse sous la forme #x=x_1 \lor x=x_2 \lor \ldots \lor x=x_n#, où #x_1#, #x_2#, #\ldots#, #x_n# sont des nombres exacts (pas de valeurs décimales) et #n# le nombre de solutions.

# x=5 \lor x=-{{\sqrt{2}}\over{\sqrt{3}}} \lor x={{\sqrt{2}}\over{\sqrt{3}}} #

#\begin{array}{rcl}
\left(x-5\right)\left(3\cdot x^2-2\right)&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{équation à résoudre}} \\
x-5=0 &\lor& 3\cdot x^2-2=0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{A \cdot B =0 \Leftrightarrow A=0 \lor B=0} \\
x=5 &\lor& 3\cdot x^2=2 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{termes constants mis dans le membre de droite}} \\
x=5 &\lor& x^2={{2}\over{3}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{division par le coefficient de }x} \\
x=5 &\lor& x=-{{\sqrt{2}}\over{\sqrt{3}}} \lor x={{\sqrt{2}}\over{\sqrt{3}}}
\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{réduction}} \\
\end{array}#

Nouveau exemple