Inéquations de degré supérieur à 2

Fonctions: Polynômes de degré supérieur à 2

Inéquations de degré supérieur à 2

De la même manière que nous avons résolu des inéquations du second degré, nous pouvons résoudre des inéquations de degré supérieur à 2.

Résolution d'inéquations de degré supérieur à 2

	Procédure	Exemple
	Nous résolvons l'inéquation suivante \[\blue{f(x)} \gt \green{g(x)}\] où #\blue{f(x)}# et #\green{g(x)}# sont des polynômes.	#\blue{x^6+x^3+6} \gt \green{-2x^3+10}# Les solutions sont: #x \lt \sqrt[3]{-4} \land x \gt 1#.
Étape 1	Nous résolvons l'équation \[\blue{f(x)} = \green{g(x)}\]
Étape 2	Nous traçons les graphes de #\blue{f(x)}# et de #\green{g(x)}#.
Étape 3	À l'aide de l'étape 1 et 2, nous déterminons les valeurs de #x# pour lesquelles l'inéquation est vraie.

Notez que cette procédure est également valable pour les inégalités larges #\geq# et #\leq#. Alors les valeurs #x# des points d'intersection font également partie de la solution.

Tous ou aucun S'il n'y a pas de points d'intersection à l'étape 1, alors il y a deux options quant à la solution de l'inéquation.

tous les points de #x# sont solution de l'inéquation. L'inégalité est toujours vraie.
aucun point de #x# est solution de l'inéquation. L'inégalité n'est jamais vraie.

La même chose peut se produire s'il y a un point d'intersection à l'étape 1 qui est un point de tangence. Alors il y a seulement égalité dans ce point et l'inégalité est vraie ou non.

Étape alternative 2

Au lieu de tracer les graphes, nous pouvons également substituer quelques valeurs pour #x# dans #\blue{f(x)}# et #\green{g(x)}# pour déterminer sur quels intervalles l'inégalité #\blue{f(x)}\gt \green{g(x)}# est vraie.

Il suffit de choisir une valeur pour chaque intervalle déterminé par les valeurs #x# des points d'intersection de #\blue{f(x)}# et #\green{g(x)}#.

Dans l'exemple ci-dessus et ci-contre, les points d'intersection de #\blue{f(x)}# et #\green{g(x)}# ont pour abscisses #x = \sqrt[3]{-4}# et #x=1#. Donc, nous choisissons une valeur plus petit que # \sqrt[3]{-4}#, une valeur entre #x= \sqrt[3]{-4}# et #x=1#, et une valeur plus grand que #1#. Ainsi, nous obtenons tous les renseignements nécessaires pour savoir quand #\blue{f(x)}# est plus grand que #\green{g(x)}#.

Exemple

Dans l'exemple ci-dessus, nous substituons quelques valeurs pour #x#.

#\blue f(-2)=62 \gt \green g(-2)=26 #

#\blue f(0)=6 \lt\green g(0)=10#

#\blue f(2)=78 \gt \green g(2)=-6#

Les solutions sont #x \lt \sqrt[3]{-4} \land x \gt 1# comme l'inégalité est vraie pour #x=-2# et #x=2#.

Résolvez l'inéquation
\[p^{10}-p^5-5\cdot p-10 \gt 10-5\cdot p\tiny\]
Donnez votre réponse sous la forme

#p \gt p_1\land p \lt p_2# ou #p\lt p_1 \lor p \gt p_2#;
#p \lt p_1# ou #p \gt p_1#;
#aucun# ou #tous#,

avec #p_1# et #p_2# des nombres.

#p\lt -4^{{{1}\over{5}}}\lor p\gt 5^{{{1}\over{5}}}#

Étape 1	Nous résolvons l'équation #p^{10}-p^5-5\cdot p-10=10-5\cdot p#. \[\begin{array}{rcl} p^{10}-p^5-5\cdot p-10&=&10-5\cdot p \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{équation à résoudre}}\\ p^{10}-p^5-20&=&0 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{réduction à }0}\\ \left(p^5-5\right)\cdot \left(p^5+4\right)&=&0 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{factorisation}}\\ p^5-5=0 &\lor& p^5+4=0 \\&&\phantom{xxx}\blue{A\cdot B=0 \text{ si et seulement si }A=0\lor B=0}\\ p=-4^{{{1}\over{5}}} &\lor& p=5^{{{1}\over{5}}} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{résolution des équations}}\\ \end{array} \]
Étape 2	Nous traçons les graphes de #y=p^{10}-p^5-5\cdot p-10# (bleu) et de #y=10-5\cdot p# (vert).
Étape 3	Nous déterminons les solutions de l'inéquation à partir du graphique. \[p\lt -4^{{{1}\over{5}}}\lor p\gt 5^{{{1}\over{5}}}\]

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