Résolution de polynômes de degré supérieur à 2 à l'aide des équations du second degré

Fonctions: Polynômes de degré supérieur à 2

Résolution de polynômes de degré supérieur à 2 à l'aide des équations du second degré

Il y a des équations avec des polynômes qui peuvent être résolues à l'aide de la formule quadratique. Pour cela, nous utilisons la substitution.

	Procédure Nous résolvons une équation avec des polynômes en #x# à l'aide de la formule quadratique.	Exemple #2x^4+3x^2-2=0#
Étape 1	Écrivez l'équation sous la forme #a \blue x^{\blue n \cdot 2}+b \blue{x^n} +c=0#.	#2\blue{x}^{\blue2 \cdot 2}+3\blue{x^2}-2=0#
Étape 2	Remplacez #\blue{x^n}=\green u#.	#2\green u^2+3\green u-2=0#
Étape 3	Résolvez l'équation du second degré obtenue en #\green u# à l'aide de la formule quadratique.	#\green u=-2 \lor \green u =\tfrac{1}{2}#
Étape 4	Substituez #\green u =\blue{x^n}# dans les solutions trouvées.	#\blue{x^2}=-2 \lor \blue{x^2}=\tfrac{1}{2}#
Étape 5	Déterminez les solutions en #x# à partir des équations obtenues à l'étape 4.	#x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}} \lor x=\tfrac{1}{\sqrt{2}}#

Résolvez l'équation
\[2\cdot x^6-8\cdot x^3+6=0\tiny\]
Donnez votre réponse sous la forme #x=x_1\lor x=x_2 \lor \ldots \lor x=x_n# où #x_1#, #x_2#, #\ldots#, #x_n# sont des nombres et #n# le nombre de solutions.

#x=\sqrt[3]{1} \lor x=\sqrt[3]{3} #

Étape 1	Nous écrivons l'équation sous la forme: \[2 x^{2 \cdot 3}-8 x^{3}+6=0\]
Étape 2	Nous substituons #x^3=u#. \[2 u^2-8 u+6=0\]
Étape 3	Nous résolvons l'équation obtenue en #u# à l'aide de la formule quadratique. Le discriminant est égal à: \[\begin{array}{rcl}D&=&b^2-4ac \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule du discriminant}}\\ &=& \left(-8\right)^2-4 \cdot 2 \cdot 6 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{substitution de la formule}}\\ &=& 16 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{calculs effectués}}\end{array}\] Comme le discriminant est positif, il y a deux solutions. \[\begin{array}{rcl}u=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} &\lor& u=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule des solutions}}\\ u=\frac{-{-8}-\sqrt{16}}{2 \cdot 2} &\lor& u=\frac{-{-8}+\sqrt{16}}{2 \cdot 2}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{substitution de la formule}}\\ u=1 &\lor& u=3 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{calculs effectués}}\end{array}\]
Étape 4	Nous substituons #u=x^{3}# pour les solutions trouvées. \[x^{3}=1 \lor x^{3}=3\]
Étape 5	Finalement, nous résolvons les équations en appliquant la racine. Nous obtenons les solutions de l'équation initiale: \[x=\sqrt[3]{1} \lor x=\sqrt[3]{3}\]

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