|
Bekijk de formule #\orange y=4 \cdot \blue x+2#.
We kunnen dit beschouwen als een soort machine. Als we #\blue x# in de machine stoppen, vermenigvuldigt de machine dit met #4# en telt er vervolgens #2# bij op. De waarde die we dan vinden, is de bijbehorende #\orange y#-waarde.
Bijvoorbeeld #\blue x= \blue 3# geeft #4 \cdot \blue3 +2=14#, dus #\orange y=\orange{14}#.
We zeggen dan dat de machine aan het origineel #\blue 2# het beeld #\orange{14}# toevoegt. Zo'n "machine" noemen we een functie.
|
\[\begin{array}{lcl} &\blue x \text{ (\(\blue{\text{origineel}}\))}& \; \\
&\downarrow& \\
&\text{vermenigvuldig met }4 & \\
&\downarrow& \\
&\text{tel er \(2\) bij op}& \\
&\downarrow& \\
&\orange y \text{ (\(\orange{\text{beeld}}\))}&
\end{array} \]
|
|
Een functie bepaald voor een #\blue{\text{origineel}}# het unieke bijbehorende #\orange{\text{beeld}}#.
Bij een functie kunnen we vaak een bijbehorende formule vinden.
|
Voorbeeld
#\orange y=4 \cdot \blue x +2#
Hierin is #\blue x# het origineel en #\orange{y}# het beeld.
|
We kijken meestal naar functies waarbij we een formule van de vorm #y=\ldots# kunnen opschrijven. Dit is niet altijd het geval, kijk maar naar de functie hiernaast.
Daarnaast zijn er ook vergelijkingen die niet bij een functie horen. De vergelijking van de cirkel met straal #1# en middelpunt #\rv{0,0}# is:
\[x^2+y^2=1\]
Bij het origineel #x=0# horen nu twee verschillende waarde van #y#, #y=1# of #y=-1#. Maar bij een functie moet er voor ieder origineel een uniek beeld bestaan.
Voorbeeld
De functie
\[\left\{\begin{array}{ll}y=0 & \text{als } x\lt0 \\ y=1 & \text{als } x \geq 0\end{array}\right.\]
is wel een functie, maar heeft geen formule van de vorm #y=\ldots#.
Soms kunnen we niet alle waarden voor het origineel invullen.
Bijvoorbeeld bij de functie waarbij de formule #y=\tfrac{x}{x+3}# hoort, is er voor #x=-3# geen beeld.
De originelen van deze functie zijn dus alle getallen behalve #-3#. Dit noemen we het domein van de functie. We kijken hier later uitgebreider naar.
Soms zijn de beelden van een functie beperkt.
Bijvoorbeeld bij de functie waarbij de formule #y=x^2# hoort, want de beelden zijn hier altijd niet-negatief (want iets in het kwadraat is altijd niet-negatief).
De beelden van deze functie zijn dus alle niet-negatieve getallen. We noemen dit het bereik van een functie. We kijken hier later uitgebreider naar.
Bekijk de formule:
\[y=2\cdot x^2-x-2\]
Bereken het beeld van #-2#?
Het beeld is: #8#
Immers, om het beeld te berekenen, substitueren we het origineel #x=-2# in de formule.
We krijgen dan: \[y=2\cdot \left(-2\right)^2-\left(-2\right)-2=8\]
Dus het beeld is: #8#.
Functie en formule
