La formule quadratique

Équations du second degré: Résolution d'équations du second degré

La formule quadratique

L'équation #x^2+5x+5=0# est un exemple d'une équation du second degré qui ne peut pas être résolue par factorisation. Nous pourrons résoudre cette équation par complément quadratique, mais cette méthode prend plus de temps si les équations deviennent plus complexes.

Pour cette raison, nous utilisons la formule quadratique, qui découle directement de la méthode du complément quadratique, pour résoudre des équations du second degré qui ne peuvent pas être résolues par factorisation.

Formule quadratique et discriminant

Les solutions d'une équation du second degré de la forme \[\blue ax^2+\green bx+\purple c=0\] sont:

\[x=\frac{-\green b-\sqrt{\orange D}}{2 \blue a} \lor x=\frac{-\green b+\sqrt{\orange D}}{2 \blue a}\]

#\orange D# est appelé le discriminant et est calculé de la manière suivante:

\[\orange D =\green b^2-4\blue a \purple c\]

La valeur de #\orange D# détermine le nombre de solutions:

Si #\orange D \lt 0# alors il n'y a pas de solutions.

Si #\orange D = 0# il y a une seule solution, à savoir #x=\frac{-\green b}{2\blue a}#.

Si #\orange D \gt 0# alors il y a deux solutions.

Nous appelons cela la formule quadratique.

image GeoGebra

\[\begin{array}{rcl}\blue a x^2+\green b x +\purple c&=&0 \\
&&\phantom{xx}\blue{\text{équation donnée}}\\
x^2+\frac{\green b}{\blue a} x +\frac{\purple c}{\blue a}&=&0 \\
&&\phantom{xx}\blue{\text{division par }a } \\
\left(x+\frac{\green b}{2\blue a}\right)^2-\left(\frac{\green b}{2 \blue a}\right)^2+\frac{\purple c}{\blue a}&=&0 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{complément quadratique}}\\ \left(x+\frac{\green b}{2\blue a}\right)^2-\frac{\green b^2}{4 \blue a^2}+\frac{4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}&=&0 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{calcul de }\left(\frac{b}{2a}\right)^2\text{ et réduction au dénominateur commun}}\\
\left(x+\frac{\green b}{2\blue a}\right)^2-\frac{\green b^2-4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}&=&0\\ &&\phantom{xx}\blue{\text{addition des fractions}}\\
\left(x+\frac{\green b}{2\blue a}\right)^2&=&\frac{\green b^2-4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}\\
&&\phantom{xx}\blue{\text{termes constants mis dans le membre de droite}}\\
x+\frac{\green b}{2\blue a}=-\sqrt{\frac{\green b^2-4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}} &\lor& x+\frac{\green b}{2\blue a}=\sqrt{\frac{\green b^2-4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}} \\
&&\phantom{xx}\blue{\text{application de la racine carrée}}\\ x=\frac{-\green b}{2\blue a}-\sqrt{\frac{\green b^2-4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}} &\lor& x=\frac{-\green b}{2\blue a}+\sqrt{\frac{\green b^2-4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}} \\&&\phantom{xx}\blue{\text{soustraction de }\frac{b}{2a} \text{ }}\\
x=\frac{-\green b}{2\blue a}-\frac{\sqrt{\green b^2-4 \blue a\purple c}}{\sqrt{4 \blue a^2}} &\lor& x=\frac{-\green b}{2\blue a}+\frac{\sqrt{\green b^2-4 \blue a\purple c}}{\sqrt{4 \blue a^2}} \\&&\phantom{xx}\blue{\text{écriture de la racine d'une fraction comme la fraction des racines}} \\
x=\frac{-\green b}{2\blue a}-\frac{\sqrt{\green b^2-4 \blue a\purple c}}{2\blue a} &\lor& x=\frac{-\green b}{2\blue a}+\frac{\sqrt{\green b^2-4 \blue a\purple c}}{2 \blue a} \\&&\phantom{xx}\blue{\text{réduction }} \\
x=\frac{-\green b-\sqrt{\green b^2-4\blue a \purple c}}{2\blue a} &\lor& x=\frac{-\green b+\sqrt{\green b^2-4\blue a \purple c}}{2\blue a} \\
&&\phantom{xx}\blue{\text{addition des fractions}}\end{array}\]

En remplaçant l'expression #\green b^2-4\blue a \purple c# par #\orange D#, nous obtenons la formule quadratique.

La formule quadratique peut être utilisée pour résoudre toute équation du second degré.

Résolution d'équations du second degré en utilisant la formule quadratique

	Procédure	Exemple
	La résolution d'une équation du second degré pour #x# en utilisant la formule quadratique	#3x^2+2x+5=4x+8#
Étape 1	Réduisez l'équation sous la forme #\blue ax^2+\green bx+\purple c=0#.	#\blue 3x^2\green{-2}x\purple{-3}=0#
Étape 2	Identifiez #\blue a#, #\green b# et #\purple c#.	#\blue a =\blue3#, #\green b=\green{-2}# et #\purple c = \purple{-3}#
Étape 3	Calculez le discriminant #\orange D=\green b^2-4\blue a \purple c#.	#\orange D=(\green{-2})^2-4\cdot \blue3 \cdot (\purple{-3})=\orange{40}\gt0#
Étape 4	Déterminez le nombre de solutions. Si #D \gt 0#, il y a #2# solutions. Si #D=0#, il y a une seule solution. Si #D \lt 0#, alors il n'y a pas de solutions.	Il y a deux solutions.
Étape 5	Calculez les solutions et simplifiez les autant que possible. \[x=\frac{-\green b-\sqrt{\orange D}}{2 \blue a} \lor x=\frac{-\green b+\sqrt{\orange D}}{2 \blue a}\]	# \begin{array}{rcl}x&=&\dfrac{-(\green{-2})-\sqrt{\orange{40}}}{2 \cdot \blue{3}}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{10}}{3} \\ &\lor& \\ x&=&\dfrac{-(\green{-2})+\sqrt{\orange{40}}}{2 \cdot \blue3}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{10}}{3}\end {array} #

Résolvez \[2\cdot y^2+3\cdot y-1=0\]
Écrivez:

#aucun# s'il n'y a pas de solution,
#y=a# s'il y a une solution,
#y=a \lor y=b# s'il y a deux solutions,

avec les valeurs correctes (pas de nombres décimaux) pour #a# et #b#.

#y={{-\sqrt{17}-3}\over{4}}\lor y={{\sqrt{17}-3}\over{4}}#

Nous résolvons l'équation en utilisant la formule quadratique. L'équation est déjà réduite à #0#. Ainsi, nous commençons à l'étape 2 de la procédure.

Étape 2	Nous identifions #a#, #b# et #c#. #a=2#, #b=3# et #c=-1#
Étape 3	Nous calculons le discriminant. \[\begin{array}{rcl}D&=&b^2-4ac \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{formule du discriminant}}\\ &=& 3^2-4\cdot 2\cdot (-1)\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{substitution de la formule}}\\ &=& 17 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{calculs effectués}}\end{array}\]
Étape 4	Le discriminant #D \gt 0#, donc le nombre de solutions est #2#.
Étape 5	Nous déterminons les solutions de l'équation. \[\begin{array}{rcl}x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} &\lor& x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{formule quadratique}}\\ y=\frac{{-3}-\sqrt{17}}{2 \cdot 2} &\lor& y=\frac{{-3}+\sqrt{17}}{2 \cdot 2} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{substitution des formules }}\\ y={{-\sqrt{17}-3}\over{4}} &\lor& y={{\sqrt{17}-3}\over{4}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplification}}\\ \end{array}\]

Le graphe de #y=2\cdot x^2+3\cdot x-1# est tracé ci-dessous. Les abscisses #x# des points d'intersection du graphe avec l'axe des #x# sont , après avoir substitué #x# par #y#, les solutions de l'équation.

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